Imports
Wave equation
i. Overview
In this module we define the wave equation in d-dimensional Euclidean space,
and prove that plane waves are solutions to the wave equation.
By a plne wave we mean a function of the form f(t, x) = f₀(⟪x, s⟫_ℝ - c * t) where
s is a direction vector and c is the propagation speed.
ii. Key results
WaveEquation: The general form of the wave equation where c is the propagation speed.
planeWave: A vector-valued plane wave travelling in the direction of s with
propagation speed c.
planeWave_waveEquation: The plane wave satisfies the wave equation.
iii. Table of contents
A. The wave equation
B. Plane wave solutions
B.1. Definition of a plane wave
B.2. Differentiablity conditions
B.3. Time derivatives of plane waves
B.4. Space derivatives of plane waves
B.5. Laplacian of plane waves
B.6. Plane waves satisfy the wave equation
C. Old lemmas used throughout files
iv. References
@[ expose ] public section
A. The wave equation
The general form of the wave equation where c is the propagation speed.
def WaveEquation { d } ( f : Time → Space d → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) )
( t : Time ) ( x : Space d ) ( c : ℝ ) : Prop :=
c ^ 2 • Δᵥ ( f t ) x - ∂ₜ ( fun t => ( ∂ₜ ( fun t => f t x ) t ) ) t = 0
B. Plane wave solutions
B.1. Definition of a plane wave
B.2. Differentiablity conditions
@[ fun_prop ]
lemma planeWave_differentiable_time { d f₀ c x } { s : Direction d }
( h' : Differentiable ℝ f₀ ) :
Differentiable ℝ ( fun t => planeWave f₀ c s t x ) := by d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun t => planeWave f₀ c s t x
simp only [ planeWave_eq ] d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun t => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val )
apply Differentiable.comp hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ f₀ hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun t => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val <;> hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ f₀ hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun t => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val fun_prop All goals completed! 🐙 @[ fun_prop ]
lemma planeWave_differentiable_space { d f₀ c t } { s : Direction d }
( h' : Differentiable ℝ f₀ ) :
Differentiable ℝ ( fun x => planeWave f₀ c s t x ) := by d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ t : Time s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => planeWave f₀ c s t x
simp only [ planeWave_eq ] d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ t : Time s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val )
apply Differentiable.comp hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ t : Time s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ f₀ hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ t : Time s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val
· hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ t : Time s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ f₀ fun_prop All goals completed! 🐙
· hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ t : Time s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val apply Differentiable.sub hf.hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ t : Time s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ t : Time s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => c * t . val
· hf.hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ t : Time s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ refine Differentiable.inner ℝ ? _ ? _ hf.hf.refine_1 d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ t : Time s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => x hf.hf.refine_2 d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ t : Time s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => s . unit
· hf.hf.refine_1 d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ t : Time s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => x fun_prop All goals completed! 🐙
· hf.hf.refine_2 d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ t : Time s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => s . unit fun_prop All goals completed! 🐙
· hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ t : Time s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => c * t . val fun_prop All goals completed! 🐙 @[ fun_prop ]
lemma planeWave_differentiable { s : Direction d }
{ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) }
( h' : Differentiable ℝ f₀ ) : Differentiable ℝ ↿ ( planeWave f₀ c s ) := by d : ℕ c : ℝ s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ ↿ ( planeWave f₀ c s )
unfold planeWave d : ℕ c : ℝ s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ ↿ fun t x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val )
change Differentiable ℝ ( f₀ ∘ fun ( ( t : Time ) , x ) => ( inner ℝ x s . unit - c * t ) ) d : ℕ c : ℝ s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ
( f₀ ∘ fun x =>
match x with
| ( t , x ) => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val )
apply Differentiable.comp hg d : ℕ c : ℝ s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ f₀ hf d : ℕ c : ℝ s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x =>
match x with
| ( t , x ) => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val
· hg d : ℕ c : ℝ s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ f₀ fun_prop All goals completed! 🐙
· hf d : ℕ c : ℝ s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x =>
match x with
| ( t , x ) => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val apply Differentiable.sub hf.hf d : ℕ c : ℝ s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => ⟪ x .2 , s . unit ⟫_ ℝ hg d : ℕ c : ℝ s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => c * x .1 . val
· hf.hf d : ℕ c : ℝ s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => ⟪ x .2 , s . unit ⟫_ ℝ apply Differentiable.inner hf.hf.hf d : ℕ c : ℝ s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ Prod.snd hf.hf.hg d : ℕ c : ℝ s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => s . unit
repeat fun_prop All goals completed! 🐙
· hg d : ℕ c : ℝ s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x => c * x .1 . val fun_prop All goals completed! 🐙
B.3. Time derivatives of plane waves
lemma planeWave_time_deriv { d f₀ c x } { s : Direction d }
( h' : Differentiable ℝ f₀ ) :
∂ₜ ( planeWave f₀ c s · x ) = - c • fun t => planeWave ( fderiv ℝ f₀ · 1 ) c s t x := by d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ ( ∂ₜ fun x_1 => planeWave f₀ c s x_1 x ) = - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x
ext t i d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ∂ₜ (fun x_1 => planeWave f₀ c s x_1 x ) t ) . ofLp i =
( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i
rw [ Time.deriv_eq d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ (fun x_1 => planeWave f₀ c s x_1 x ) t ) 1 ) . ofLp i =
( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ (fun x_1 => planeWave f₀ c s x_1 x ) t ) 1 ) . ofLp i =
( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i ] d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ (fun x_1 => planeWave f₀ c s x_1 x ) t ) 1 ) . ofLp i =
( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i
change fderiv ℝ ( f₀ ∘ fun t : Time => ( inner ℝ x s . unit - c * t ) ) t 1 i = _ d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ ( f₀ ∘ fun t => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) t ) 1 ) . ofLp i =
( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i
rw [ fderiv_comp , d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ∘SL fderiv ℝ (fun t => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) t ) 1 ) . ofLp i =
( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun t => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) t d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ∘SL ( - ( c • fderiv ℝ Time.val t ) ) ) 1 ) . ofLp i =
( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i ha d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ Time.val t hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun t => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) t fderiv_const_sub , d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ∘SL ( - fderiv ℝ (fun t => c * t . val ) t ) ) 1 ) . ofLp i =
( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun t => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) t d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ∘SL ( - ( c • fderiv ℝ Time.val t ) ) ) 1 ) . ofLp i =
( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i ha d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ Time.val t hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun t => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) t fderiv_const_mul d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ∘SL ( - ( c • fderiv ℝ Time.val t ) ) ) 1 ) . ofLp i =
( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i ha d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ Time.val t hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun t => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) t d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ∘SL ( - ( c • fderiv ℝ Time.val t ) ) ) 1 ) . ofLp i =
( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i ha d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ Time.val t hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun t => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) t ] d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ∘SL ( - ( c • fderiv ℝ Time.val t ) ) ) 1 ) . ofLp i =
( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i ha d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ Time.val t hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun t => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) t
simp only [ ContinuousLinearMap.comp_neg , ContinuousLinearMap.comp_smulₛₗ ,
RingHom.id_apply , _root_.neg_apply ,
FunLike.coe_smul , Pi.smul_apply , PiLp.neg_apply , PiLp.smul_apply , smul_eq_mul ,
neg_mul , neg_inj , mul_eq_mul_left_iff ] d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ∘SL fderiv ℝ Time.val t ) 1 ) . ofLp i =
( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp i ∨
c = 0 ha d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ Time.val t hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun t => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) t
left d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ∘SL fderiv ℝ Time.val t ) 1 ) . ofLp i =
( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp i ha d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ Time.val t hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun t => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) t
simp d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( _root_.deriv f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) . ofLp i = ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp i ha d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ Time.val t hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun t => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) t
rfl ha d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ Time.val t hg d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun t => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) t
repeat fun_prop All goals completed! 🐙
lemma planeWave_time_deriv_time_deriv { d f₀ c x } { s : Direction d }
( h' : ContDiff ℝ 2 f₀ ) :
∂ₜ ( ∂ₜ ( planeWave f₀ c s · x ) ) = c ^ 2 • fun t => planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x := by d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ ⊢ ∂ₜ ( ∂ₜ fun x_1 => planeWave f₀ c s x_1 x ) = c ^ 2 • fun t => planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x
conv_lhs =>
enter [ 1 , i ] d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Time | ∂ₜ (fun x_1 => planeWave f₀ c s x_1 x ) i
rw [ planeWave_time_deriv ( h' . differentiable ( by d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Time ⊢ 2 ≠ 0 simp All goals completed! 🐙 ) ) ]
ext t i d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ∂ₜ ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i =
( ( c ^ 2 • fun t => planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) t ) . ofLp i
rw [ Time.deriv_eq , d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) 1 ) . ofLp i =
( ( c ^ 2 • fun t => planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) t ) . ofLp i d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( - c • fderiv ℝ (fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) 1 ) . ofLp i =
( ( c ^ 2 • fun t => planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) t ) . ofLp i fderiv_const_smul ( by d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( - c • fderiv ℝ (fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) 1 ) . ofLp i =
( ( c ^ 2 • fun t => planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) t ) . ofLp i fun_prop All goals completed! 🐙 d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( - c • fderiv ℝ (fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) 1 ) . ofLp i =
( ( c ^ 2 • fun t => planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) t ) . ofLp i ) ] d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ ( ( - c • fderiv ℝ (fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) 1 ) . ofLp i =
( ( c ^ 2 • fun t => planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) t ) . ofLp i
simp only [ fderiv_eq_smul_deriv , one_smul , neg_smul , _root_.neg_apply ,
FunLike.coe_smul , Pi.smul_apply , PiLp.neg_apply , PiLp.smul_apply , smul_eq_mul ] d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ - ( c * ( ( fderiv ℝ (fun t => planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) t ) 1 ) . ofLp i ) =
c ^ 2 * ( planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) . ofLp i
rw [ ← Time.deriv_eq , d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ - ( c * ( ∂ₜ (fun t => planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) t ) . ofLp i ) =
c ^ 2 * ( planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) . ofLp i d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ - ( c * ( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i ) =
c ^ 2 * ( planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) . ofLp i planeWave_time_deriv ( by d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ Differentiable ℝ fun x => _root_.deriv f₀ x d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ - ( c * ( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i ) =
c ^ 2 * ( planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) . ofLp i fun_prop All goals completed! 🐙 d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ - ( c * ( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i ) =
c ^ 2 * ( planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) . ofLp i ) ] d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ - ( c * ( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp i ) =
c ^ 2 * ( planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) . ofLp i
simp only [ fderiv_eq_smul_deriv , one_smul , Pi.smul_apply , PiLp.smul_apply , smul_eq_mul , neg_mul ,
mul_neg , neg_neg ] d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ c * ( c * ( planeWave (fun x => _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) c s t x ) . ofLp i ) =
c ^ 2 * ( planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) . ofLp i
ring_nf d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ c ^ 2 * ( planeWave (fun x => _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) c s t x ) . ofLp i =
c ^ 2 * ( planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) . ofLp i
suffices h : ( fun x => _root_.deriv ( fun y => _root_.deriv f₀ y ) x ) =
iteratedDeriv 2 f₀ by d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d h : (fun x => _root_.deriv (fun y => _root_.deriv f₀ y ) x ) = iteratedDeriv 2 f₀ ⊢ c ^ 2 * ( planeWave (fun x => _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) c s t x ) . ofLp i =
c ^ 2 * ( planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) . ofLp i d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ (fun x => _root_.deriv (fun y => _root_.deriv f₀ y ) x ) = iteratedDeriv 2 f₀ rw [ h d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d h : (fun x => _root_.deriv (fun y => _root_.deriv f₀ y ) x ) = iteratedDeriv 2 f₀ ⊢ c ^ 2 * ( planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) . ofLp i = c ^ 2 * ( planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) . ofLp i d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ (fun x => _root_.deriv (fun y => _root_.deriv f₀ y ) x ) = iteratedDeriv 2 f₀ ] d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ (fun x => _root_.deriv (fun y => _root_.deriv f₀ y ) x ) = iteratedDeriv 2 f₀ d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ x : Space d s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ t : Time i : Fin d ⊢ (fun x => _root_.deriv (fun y => _root_.deriv f₀ y ) x ) = iteratedDeriv 2 f₀
simpa only [ iteratedDeriv_one ] using
( iteratedDeriv_succ ( n := 1 ) ( f := f₀ ) ) . symm All goals completed! 🐙
B.4. Space derivatives of plane waves
lemma planeWave_space_deriv { d f₀ c } { s : Direction d }
( h' : Differentiable ℝ f₀ ) ( i : Fin d ) :
∂[ i ] ( planeWave f₀ c s t ) =
s . unit i • fun x => planeWave ( fderiv ℝ f₀ · 1 ) c s t x := by t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d ⊢ Space.deriv i ( planeWave f₀ c s t ) = s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x
ext x j t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( Space.deriv i ( planeWave f₀ c s t ) x ) . ofLp j =
( ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) . ofLp j
rw [ Space.deriv_eq t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ ( planeWave f₀ c s t ) x ) ( Space.basis i ) ) . ofLp j =
( ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) . ofLp j t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ ( planeWave f₀ c s t ) x ) ( Space.basis i ) ) . ofLp j =
( ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) . ofLp j ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ ( planeWave f₀ c s t ) x ) ( Space.basis i ) ) . ofLp j =
( ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) . ofLp j
change fderiv ℝ
( f₀ ∘ fun x : Space d => ( inner ℝ x s . unit - c * t ) ) x ( Space.basis i ) j = _ t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ ( f₀ ∘ fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x ) ( Space.basis i ) ) . ofLp j =
( ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) . ofLp j
rw [ fderiv_comp t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ∘SL fderiv ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x ) ( Space.basis i ) ) . ofLp j =
( ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) . ofLp j hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ∘SL fderiv ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x ) ( Space.basis i ) ) . ofLp j =
( ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) . ofLp j hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ∘SL fderiv ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x ) ( Space.basis i ) ) . ofLp j =
( ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) . ofLp j hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x
simp only [ ContinuousLinearMap.coe_comp , Function.comp_apply , fderiv_eq_smul_deriv ,
PiLp.smul_apply , smul_eq_mul , one_smul , Pi.smul_apply ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( fderiv ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x ) ( Space.basis i ) *
( _root_.deriv f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) . ofLp j =
s . unit . val i * ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x
rw [ fderiv_sub_const t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( fderiv ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ ) x ) ( Space.basis i ) * ( _root_.deriv f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) . ofLp j =
s . unit . val i * ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( fderiv ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ ) x ) ( Space.basis i ) * ( _root_.deriv f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) . ofLp j =
s . unit . val i * ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( fderiv ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ ) x ) ( Space.basis i ) * ( _root_.deriv f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) . ofLp j =
s . unit . val i * ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x
rw [ fderiv_inner_apply t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( ⟪ x , ( fderiv ℝ (fun x => s . unit ) x ) ( Space.basis i ) ⟫_ ℝ + ⟪ ( fderiv ℝ (fun x => x ) x ) ( Space.basis i ) , s . unit ⟫_ ℝ ) *
( _root_.deriv f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) . ofLp j =
s . unit . val i * ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => x ) x hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => s . unit ) x hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( ⟪ x , ( fderiv ℝ (fun x => s . unit ) x ) ( Space.basis i ) ⟫_ ℝ + ⟪ ( fderiv ℝ (fun x => x ) x ) ( Space.basis i ) , s . unit ⟫_ ℝ ) *
( _root_.deriv f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) . ofLp j =
s . unit . val i * ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => x ) x hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => s . unit ) x hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( ⟪ x , ( fderiv ℝ (fun x => s . unit ) x ) ( Space.basis i ) ⟫_ ℝ + ⟪ ( fderiv ℝ (fun x => x ) x ) ( Space.basis i ) , s . unit ⟫_ ℝ ) *
( _root_.deriv f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) . ofLp j =
s . unit . val i * ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => x ) x hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => s . unit ) x hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x
simp only [ fderiv_fun_const , Pi.zero_apply , _root_.zero_apply , inner_zero_right ,
fderiv_fun_id , ContinuousLinearMap.coe_id' , id_eq , basis_inner , zero_add , mul_eq_mul_left_iff ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( _root_.deriv f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) . ofLp j = ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j ∨
s . unit . val i = 0 hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => x ) x hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => s . unit ) x hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x
left t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ ( _root_.deriv f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) . ofLp j = ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => x ) x hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => s . unit ) x hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x
simp [ planeWave_eq ] hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => x ) x hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => s . unit ) x hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d x : Space d j : Fin d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) x
repeat fun_prop All goals completed! 🐙
lemma planeWave_apply_space_deriv { d f₀ c } { s : Direction d }
( h' : Differentiable ℝ f₀ ) ( i j : Fin d ) :
∂[ i ] ( fun x => planeWave f₀ c s t x j ) =
s . unit i • fun x => planeWave ( fderiv ℝ f₀ · 1 ) c s t x j := by t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d ⊢ ( Space.deriv i fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp j ) =
s . unit . val i • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j
funext x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ Space.deriv i (fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp j ) x =
( s . unit . val i • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x
rw [ Space.deriv_eq_fderiv_basis t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( fderiv ℝ (fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp j ) x ) ( Space.basis i ) =
( s . unit . val i • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( fderiv ℝ (fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp j ) x ) ( Space.basis i ) =
( s . unit . val i • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( fderiv ℝ (fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp j ) x ) ( Space.basis i ) =
( s . unit . val i • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x
change fderiv ℝ ( EuclideanSpace.proj j ∘ fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) ) x ( basis i ) = _ t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( fderiv ℝ ( ⇑ ( EuclideanSpace.proj j ) ∘ fun x => planeWave f₀ c s t x ) x ) ( Space.basis i ) =
( s . unit . val i • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x
rw [ fderiv_comp t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( fderiv ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj j ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) ∘SL fderiv ℝ (fun x => planeWave f₀ c s t x ) x )
( Space.basis i ) =
( s . unit . val i • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj j ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave f₀ c s t x ) x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( fderiv ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj j ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) ∘SL fderiv ℝ (fun x => planeWave f₀ c s t x ) x )
( Space.basis i ) =
( s . unit . val i • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj j ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave f₀ c s t x ) x ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( fderiv ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj j ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) ∘SL fderiv ℝ (fun x => planeWave f₀ c s t x ) x )
( Space.basis i ) =
( s . unit . val i • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj j ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave f₀ c s t x ) x
simp only [ ContinuousLinearMap.fderiv , ContinuousLinearMap.coe_comp , Function.comp_apply ,
PiLp.proj_apply , fderiv_eq_smul_deriv , one_smul , Pi.smul_apply , smul_eq_mul ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( ( fderiv ℝ (fun x => planeWave f₀ c s t x ) x ) ( Space.basis i ) ) . ofLp j =
s . unit . val i * ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj j ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave f₀ c s t x ) x
rw [ ← Space.deriv_eq_fderiv_basis , t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( Space.deriv i (fun x => planeWave f₀ c s t x ) x ) . ofLp j =
s . unit . val i * ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj j ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave f₀ c s t x ) x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) . ofLp j =
s . unit . val i * ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ f₀ hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj j ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave f₀ c s t x ) x planeWave_space_deriv t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) . ofLp j =
s . unit . val i * ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ f₀ hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj j ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave f₀ c s t x ) x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) . ofLp j =
s . unit . val i * ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ f₀ hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj j ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave f₀ c s t x ) x ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) . ofLp j =
s . unit . val i * ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ f₀ hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj j ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave f₀ c s t x ) x
rfl h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ f₀ hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj j ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave f₀ c s t x ) x
· h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ f₀ fun_prop All goals completed! 🐙
· hg t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj j ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) fun_prop All goals completed! 🐙
· hf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave f₀ c s t x ) x fun_prop All goals completed! 🐙
lemma planeWave_space_deriv_space_deriv { d f₀ c } { s : Direction d }
( h' : ContDiff ℝ 2 f₀ ) ( i : Fin d ) :
∂[ i ] ( ∂[ i ] ( planeWave f₀ c s t ) ) =
s . unit i ^ 2 • fun x => planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ · ) c s t x := by t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d ⊢ Space.deriv i ( Space.deriv i ( planeWave f₀ c s t ) ) =
s . unit . val i ^ 2 • fun x => planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x
conv_lhs =>
enter [ 2 , j ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Space d | Space.deriv i ( planeWave f₀ c s t ) j
rw [ planeWave_space_deriv ( h' . differentiable ( by t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Space d ⊢ 2 ≠ 0 simp All goals completed! 🐙 ) ) i ]
funext x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ Space.deriv i ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x =
( s . unit . val i ^ 2 • fun x => planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) x
rw [ Space.deriv_eq_fderiv_basis , t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ ( fderiv ℝ ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) ( Space.basis i ) =
( s . unit . val i ^ 2 • fun x => planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ ( s . unit . val i • fderiv ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) ( Space.basis i ) =
( s . unit . val i ^ 2 • fun x => planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x fderiv_const_smul t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ ( s . unit . val i • fderiv ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) ( Space.basis i ) =
( s . unit . val i ^ 2 • fun x => planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ ( s . unit . val i • fderiv ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) ( Space.basis i ) =
( s . unit . val i ^ 2 • fun x => planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ ( s . unit . val i • fderiv ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ) ( Space.basis i ) =
( s . unit . val i ^ 2 • fun x => planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x
simp only [ fderiv_eq_smul_deriv , one_smul , FunLike.coe_smul , Pi.smul_apply ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i • ( fderiv ℝ (fun x => planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) x ) ( Space.basis i ) =
s . unit . val i ^ 2 • planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x
rw [ ← Space.deriv_eq_fderiv_basis , t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i • Space.deriv i (fun x => planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) x =
s . unit . val i ^ 2 • planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i • ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) 1 ) c s t x ) x =
s . unit . val i ^ 2 • planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ fun x => _root_.deriv f₀ x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x planeWave_space_deriv t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i • ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) 1 ) c s t x ) x =
s . unit . val i ^ 2 • planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ fun x => _root_.deriv f₀ x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i • ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) 1 ) c s t x ) x =
s . unit . val i ^ 2 • planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ fun x => _root_.deriv f₀ x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i • ( s . unit . val i • fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) 1 ) c s t x ) x =
s . unit . val i ^ 2 • planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ fun x => _root_.deriv f₀ x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x
simp only [ fderiv_eq_smul_deriv , one_smul , Pi.smul_apply ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i • s . unit . val i • planeWave (fun x => _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) c s t x =
s . unit . val i ^ 2 • planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ fun x => _root_.deriv f₀ x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x
rw [ smul_smul t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ ( s . unit . val i * s . unit . val i ) • planeWave (fun x => _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) c s t x =
s . unit . val i ^ 2 • planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ fun x => _root_.deriv f₀ x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ ( s . unit . val i * s . unit . val i ) • planeWave (fun x => _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) c s t x =
s . unit . val i ^ 2 • planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ fun x => _root_.deriv f₀ x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ ( s . unit . val i * s . unit . val i ) • planeWave (fun x => _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) c s t x =
s . unit . val i ^ 2 • planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ fun x => _root_.deriv f₀ x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x
congr 1 e_a t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i * s . unit . val i = s . unit . val i ^ 2 e_a t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ planeWave (fun x => _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) c s t x =
planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ fun x => _root_.deriv f₀ x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x
· e_a t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i * s . unit . val i = s . unit . val i ^ 2 exact Eq.symm ( pow_two ( s . unit i ) ) All goals completed! 🐙
· e_a t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ planeWave (fun x => _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) c s t x =
planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x congr e_a.e_f₀ t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ (fun x => _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) = fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x
funext x e_a.e_f₀ t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x✝ : Space d x : ℝ ⊢ _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x = iteratedDeriv 2 f₀ x
rw [ iteratedDeriv_succ e_a.e_f₀ t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x✝ : Space d x : ℝ ⊢ _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x = _root_.deriv ( iteratedDeriv 1 f₀ ) x e_a.e_f₀ t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x✝ : Space d x : ℝ ⊢ _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x = _root_.deriv ( iteratedDeriv 1 f₀ ) x ] e_a.e_f₀ t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x✝ : Space d x : ℝ ⊢ _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x = _root_.deriv ( iteratedDeriv 1 f₀ ) x
simp All goals completed! 🐙
· h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ fun x => _root_.deriv f₀ x fun_prop All goals completed! 🐙
· h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) x fun_prop All goals completed! 🐙
lemma planeWave_apply_space_deriv_space_deriv { d f₀ c } { s : Direction d }
( h' : ContDiff ℝ 2 f₀ ) ( i j : Fin d ) :
∂[ i ] ( ∂[ i ] ( fun x => planeWave f₀ c s t x j ) ) =
( s . unit i ) ^ 2 • fun x => planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ · ) c s t x j := by t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d ⊢ Space.deriv i ( Space.deriv i fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp j ) =
s . unit . val i ^ 2 • fun x => ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j
conv_lhs =>
enter [ 2 , j ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j✝ : Fin d j : Space d | Space.deriv i (fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp j✝ ) j
rw [ planeWave_apply_space_deriv ( h' . differentiable ( by t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j✝ : Fin d j : Space d ⊢ 2 ≠ 0 simp All goals completed! 🐙 ) ) i ]
funext x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ Space.deriv i ( s . unit . val i • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x =
( s . unit . val i ^ 2 • fun x => ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j ) x
rw [ Space.deriv_eq_fderiv_basis , t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( fderiv ℝ ( s . unit . val i • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x ) ( Space.basis i ) =
( s . unit . val i ^ 2 • fun x => ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j ) x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( s . unit . val i • fderiv ℝ (fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x ) ( Space.basis i ) =
( s . unit . val i ^ 2 • fun x => ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j ) x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x fderiv_const_smul t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( s . unit . val i • fderiv ℝ (fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x ) ( Space.basis i ) =
( s . unit . val i ^ 2 • fun x => ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j ) x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( s . unit . val i • fderiv ℝ (fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x ) ( Space.basis i ) =
( s . unit . val i ^ 2 • fun x => ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j ) x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( s . unit . val i • fderiv ℝ (fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x ) ( Space.basis i ) =
( s . unit . val i ^ 2 • fun x => ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j ) x h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x
· t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ ( s . unit . val i • fderiv ℝ (fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x ) ( Space.basis i ) =
( s . unit . val i ^ 2 • fun x => ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j ) x simp only [ fderiv_eq_smul_deriv , one_smul , FunLike.coe_smul , Pi.smul_apply ,
smul_eq_mul ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i * ( fderiv ℝ (fun x => ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j ) x ) ( Space.basis i ) =
s . unit . val i ^ 2 * ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j
rw [ ← Space.deriv_eq_fderiv_basis , t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i * Space.deriv i (fun x => ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp j ) x =
s . unit . val i ^ 2 * ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i *
( s . unit . val i • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x =
s . unit . val i ^ 2 * ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ fun x => _root_.deriv f₀ x planeWave_apply_space_deriv t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i *
( s . unit . val i • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x =
s . unit . val i ^ 2 * ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ fun x => _root_.deriv f₀ x t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i *
( s . unit . val i • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x =
s . unit . val i ^ 2 * ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ fun x => _root_.deriv f₀ x ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i *
( s . unit . val i • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x =
s . unit . val i ^ 2 * ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j h' t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ Differentiable ℝ fun x => _root_.deriv f₀ x
· t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i *
( s . unit . val i • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x =
s . unit . val i ^ 2 * ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j simp only [ fderiv_eq_smul_deriv , one_smul , Pi.smul_apply , smul_eq_mul ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i * ( s . unit . val i * ( planeWave (fun x => _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) c s t x ) . ofLp j ) =
s . unit . val i ^ 2 * ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j
ring_nf t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ s . unit . val i ^ 2 * ( planeWave (fun x => _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) c s t x ) . ofLp j =
s . unit . val i ^ 2 * ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j
suffices h : ( fun x => _root_.deriv ( fun y => _root_.deriv f₀ y ) x ) =
iteratedDeriv 2 f₀ by t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d h : (fun x => _root_.deriv (fun y => _root_.deriv f₀ y ) x ) = iteratedDeriv 2 f₀ ⊢ s . unit . val i ^ 2 * ( planeWave (fun x => _root_.deriv (fun x => _root_.deriv f₀ x ) x ) c s t x ) . ofLp j =
s . unit . val i ^ 2 * ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ (fun x => _root_.deriv (fun y => _root_.deriv f₀ y ) x ) = iteratedDeriv 2 f₀ rw [ h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d h : (fun x => _root_.deriv (fun y => _root_.deriv f₀ y ) x ) = iteratedDeriv 2 f₀ ⊢ s . unit . val i ^ 2 * ( planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ ) c s t x ) . ofLp j =
s . unit . val i ^ 2 * ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ (fun x => _root_.deriv (fun y => _root_.deriv f₀ y ) x ) = iteratedDeriv 2 f₀ ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ (fun x => _root_.deriv (fun y => _root_.deriv f₀ y ) x ) = iteratedDeriv 2 f₀ t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ (fun x => _root_.deriv (fun y => _root_.deriv f₀ y ) x ) = iteratedDeriv 2 f₀
simpa only [ iteratedDeriv_one ] using
( iteratedDeriv_succ ( n := 1 ) ( f := f₀ ) ) . symm All goals completed! 🐙
all_goals fun_prop All goals completed! 🐙
· h t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ i : Fin d j : Fin d x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp j ) x fun_prop All goals completed! 🐙
B.5. Laplacian of plane waves
lemma planeWave_laplacian { d f₀ c } { s : Direction d } ( h' : ContDiff ℝ 2 f₀ ) :
Δᵥ ( planeWave f₀ c s t ) = fun x => planeWave ( iteratedDeriv 2 f₀ · ) c s t x := by t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ ⊢ Δᵥ ( planeWave f₀ c s t ) = fun x => planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x
ext x j t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ x : Space d j : Fin d ⊢ ( Δᵥ ( planeWave f₀ c s t ) x ) . ofLp j = ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j
rw [ laplacianVec t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ x : Space d j : Fin d ⊢ ( WithLp.toLp 2 fun i => Δ (fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp i ) x ) . ofLp j =
( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ x : Space d j : Fin d ⊢ ( WithLp.toLp 2 fun i => Δ (fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp i ) x ) . ofLp j =
( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ x : Space d j : Fin d ⊢ ( WithLp.toLp 2 fun i => Δ (fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp i ) x ) . ofLp j =
( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j
conv_lhs =>
enter [ 1 , 2 , i ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ x : Space d j : Fin d i : Fin d | Δ (fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp i ) x
rw [ laplacian_eq_sum_snd_deriv ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ x : Space d j : Fin d i : Fin d | (fun x => ∑ i_1 , Space.deriv i_1 ( Space.deriv i_1 fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp i ) x ) x
enter [ 0 , x , 2 , i ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ x✝ : Space d j : Fin d i✝ : Fin d x : Space d i : Fin d | Space.deriv i ( Space.deriv i fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp i✝ ) x
rw [ planeWave_apply_space_deriv_space_deriv h' ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ x✝ : Space d j : Fin d i✝ : Fin d x : Space d i : Fin d | ( s . unit . val i ^ 2 • fun x => ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp i✝ ) x
simp only [ Pi.smul_apply , smul_eq_mul ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ x : Space d j : Fin d ⊢ ∑ x_1 , s . unit . val x_1 ^ 2 * ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j =
( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j
rw [ ← Finset.sum_mul t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ x : Space d j : Fin d ⊢ (∑ i , s . unit . val i ^ 2 ) * ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j =
( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ x : Space d j : Fin d ⊢ (∑ i , s . unit . val i ^ 2 ) * ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j =
( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j ] t : Time d : ℕ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) c : ℝ s : Direction d h' : ContDiff ℝ 2 f₀ x : Space d j : Fin d ⊢ (∑ i , s . unit . val i ^ 2 ) * ( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j =
( planeWave (fun x => iteratedDeriv 2 f₀ x ) c s t x ) . ofLp j
simp All goals completed! 🐙
B.6. Plane waves satisfy the wave equation
The plane wave satisfies the wave equation.
C. Old lemmas used throughout files
These lemmas will eventually be moved, renamed and/or replaced.
lemma wave_differentiable { s : Direction d } { c : ℝ } { x : Space d } :
DifferentiableAt ℝ ( fun x => inner ℝ x s . unit - c * t ) x := by d : ℕ t : ℝ s : Direction d c : ℝ x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x
apply DifferentiableAt.sub hf d : ℕ t : ℝ s : Direction d c : ℝ x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ t : ℝ s : Direction d c : ℝ x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => c * t ) x
apply DifferentiableAt.inner hf.hf d : ℕ t : ℝ s : Direction d c : ℝ x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => x ) x hf.hg d : ℕ t : ℝ s : Direction d c : ℝ x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => s . unit ) x hg d : ℕ t : ℝ s : Direction d c : ℝ x : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => c * t ) x
repeat fun_prop All goals completed! 🐙
lemma wave_dx2 { u v : Fin d } { s : Direction d }
{ f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) } { f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) }
( h'' : ∀ x , HasFDerivAt ( fun x' => f₀' x' 1 ) ( f₀'' x ) x ) :
( fderiv ℝ ( fun x' => ( inner ℝ ( ( f₀' ( inner ℝ x' s . unit - c * t ) ) ( s . unit u ) )
( EuclideanSpace.single v 1 ) ) ) x ) ( Space.basis u )
=
inner ℝ ( ( s . unit u ) ^ 2 • f₀'' ( inner ℝ x s . unit - c * t ) 1 ) ( EuclideanSpace.single v 1 ) := by d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ( fderiv ℝ (fun x' => ⟪ ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ ) x ) ( Space.basis u ) =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ
rw [ fderiv_inner_apply d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ] d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
have hdi' : ( fderiv ℝ ( fun x' => ( f₀' ( inner ℝ x' s . unit - c * t ) )
( s . unit u ) ) x ) ( Space.basis u )
=
( s . unit u ) ^ 2 • ( f₀'' ( inner ℝ x s . unit - c * t ) 1 ) := by d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ( fderiv ℝ (fun x' => ⟪ ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ ) x ) ( Space.basis u ) =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
change ( fderiv ℝ ( ( fun x' => f₀' x' ( s . unit u ) ) ∘
fun x' => ( inner ℝ x' s . unit - c * t ) ) x ) ( Space.basis u ) = _ d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ( fderiv ℝ ( (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ∘ fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
rw [ fderiv_comp , d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ∘SL fderiv ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x )
( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ∘SL
( fderiv ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x - fderiv ℝ (fun x' => c * t ) x ) )
( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x fderiv_fun_sub d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ∘SL
( fderiv ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x - fderiv ℝ (fun x' => c * t ) x ) )
( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ∘SL
( fderiv ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x - fderiv ℝ (fun x' => c * t ) x ) )
( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
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( Space.basis u ) =
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( ⟪ x , ( fderiv ℝ (fun x' => s . unit ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ + ⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => x' ) x ) ( Space.basis u ) , s . unit ⟫_ ℝ ) =
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s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ] d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) )
( ⟪ x , ( fderiv ℝ (fun x' => s . unit ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ + ⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => x' ) x ) ( Space.basis u ) , s . unit ⟫_ ℝ ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => x' ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => s . unit ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
simp only [ fderiv_fun_id , ContinuousLinearMap.coe_id' , id_eq ] d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) )
( ⟪ x , ( fderiv ℝ (fun x' => s . unit ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ + ⟪ Space.basis u , s . unit ⟫_ ℝ ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => x' ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => s . unit ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
trans ( fderiv ℝ ( fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit u • 1 ) ) ( inner ℝ x s . unit - c * t ) ) ( s . unit u • 1 ) d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) )
( ⟪ x , ( fderiv ℝ (fun x' => s . unit ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ + ⟪ Space.basis u , s . unit ⟫_ ℝ ) =
( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u • 1 ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u • 1 ) d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u • 1 ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u • 1 ) =
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⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
simp only [ fderiv_fun_const , Pi.ofNat_apply , _root_.zero_apply , inner_zero_right ,
basis_inner , zero_add , fderiv_eq_smul_deriv , smul_eq_mul , mul_one ] d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u • 1 ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u • 1 ) =
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⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
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⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x fderiv_fun_const_smul , d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ s . unit . val u • ( s . unit . val u • fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 h d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => x' ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => s . unit ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ s . unit . val u • ( s . unit . val u • fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 =
( s . unit . val u * s . unit . val u ) • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 h d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => x' ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => s . unit ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x pow_two d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ s . unit . val u • ( s . unit . val u • fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 =
( s . unit . val u * s . unit . val u ) • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 h d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => x' ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => s . unit ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ s . unit . val u • ( s . unit . val u • fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 =
( s . unit . val u * s . unit . val u ) • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 h d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => x' ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => s . unit ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ] d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ s . unit . val u • ( s . unit . val u • fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 =
( s . unit . val u * s . unit . val u ) • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 h d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => x' ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => s . unit ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
rw [ HasFDerivAt.fderiv ( h'' ( inner ℝ x s . unit - c * t ) ) d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ s . unit . val u • ( s . unit . val u • f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 =
( s . unit . val u * s . unit . val u ) • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 h d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => x' ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => s . unit ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ s . unit . val u • ( s . unit . val u • f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 =
( s . unit . val u * s . unit . val u ) • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 h d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => x' ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => s . unit ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ] d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ s . unit . val u • ( s . unit . val u • f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 =
( s . unit . val u * s . unit . val u ) • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 h d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => x' ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => s . unit ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
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⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
change s . unit u • s . unit u • ( f₀'' ( inner ℝ x s . unit - c * t ) 1 ) = _ d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ s . unit . val u • s . unit . val u • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 =
( s . unit . val u * s . unit . val u ) • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 h d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => x' ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => s . unit ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
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⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
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⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
rw [ ← smul_assoc , d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ( s . unit . val u • s . unit . val u ) • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 =
( s . unit . val u * s . unit . val u ) • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 h d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => x' ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => s . unit ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x h d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => x' ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => s . unit ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x smul_eq_mul d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ ( s . unit . val u * s . unit . val u ) • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 =
( s . unit . val u * s . unit . val u ) • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 h d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => x' ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => s . unit ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x h d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => x' ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => s . unit ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ] h d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => x' ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => s . unit ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
repeat fun_prop hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
· hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x conv_lhs =>
enter [ x ] d : ℕ c : ℝ t : ℝ x✝ : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x x : ℝ | ( f₀' x ) ( s . unit . val u ) d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
rw [ ← mul_one ( s . unit u ) , ← smul_eq_mul , ContinuousLinearMap.map_smul ] d : ℕ c : ℝ t : ℝ x✝ : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x x : ℝ | s . unit . val u • ( f₀' x ) 1 d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
fun_prop All goals completed! 🐙 d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
· hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x exact wave_differentiable d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
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⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
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⟪ ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) ,
EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
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rw [ hdi' d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
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s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ] d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x hdi' : ( fderiv ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x ) ( Space.basis u ) =
s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 ⊢ ⟪ ( f₀' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) , ( fderiv ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x ) ( Space.basis u ) ⟫_ ℝ +
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ =
⟪ s . unit . val u ^ 2 • ( f₀'' ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) 1 , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
simp only [ PiLp.inner_apply , fderiv_fun_const , Pi.zero_apply ,
_root_.zero_apply , inner_zero_right , PiLp.smul_apply , smul_eq_mul ,
PiLp.single_apply , zero_add ] hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' ( ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ( s . unit . val u ) ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
change DifferentiableAt ℝ ( ( fun x' => f₀' x' ( s . unit u ) ) ∘
( fun x => ( inner ℝ x s . unit - c * t ) ) ) x hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ ( (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ∘ fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
apply DifferentiableAt.comp hf.hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x
· hf.hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ( f₀' x' ) ( s . unit . val u ) ) ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) conv_lhs =>
enter [ x ] d : ℕ c : ℝ t : ℝ x✝ : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x x : ℝ | ( f₀' x ) ( s . unit . val u )
rw [ ← mul_one ( s . unit u ) , ← smul_eq_mul , ContinuousLinearMap.map_smul ] d : ℕ c : ℝ t : ℝ x✝ : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x x : ℝ | s . unit . val u • ( f₀' x ) 1
fun_prop All goals completed! 🐙
· hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => ⟪ x' , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x exact wave_differentiable All goals completed! 🐙
· hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ x : Space d u : Fin d v : Fin d s : Direction d f₀' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f₀'' : ℝ → ℝ →L[ ℝ ] EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h'' : ∀ ( x : ℝ ), HasFDerivAt (fun x' => ( f₀' x' ) 1 ) ( f₀'' x ) x ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x' => EuclideanSpace.single v 1 ) x fun_prop All goals completed! 🐙
If f₀ is a function of (inner ℝ x s - c * t), the fderiv of its components
with respect to spatial coordinates is equal to the corresponding component of
the propagation direction s times time derivative.
lemma space_fderiv_of_inner_product_wave_eq_space_fderiv
{ t : Time } { f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) }
{ s : Direction d } { u v : Fin d } ( h' : Differentiable ℝ f₀ ) :
c * ( ( fun x' => ( fderiv ℝ ( fun x => inner ℝ ( f₀ ( inner ℝ x s . unit - c * t ) )
( EuclideanSpace.single v 1 ) ) x' ) ( ( Space.basis u ) ) ) x )
=
- s . unit u * ∂ₜ ( fun t => f₀ ( inner ℝ x s . unit - c * t ) ) t v := by d : ℕ c : ℝ x : Space d t : Time f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d u : Fin d v : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ c *
(fun x' => ( fderiv ℝ (fun x => ⟪ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) , EuclideanSpace.single v 1 ⟫_ ℝ ) x' ) ( Space.basis u ) )
x =
- s . unit . val u * ( ∂ₜ (fun t => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) t ) . ofLp v
simp [ EuclideanSpace.inner_single_right ] d : ℕ c : ℝ x : Space d t : Time f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d u : Fin d v : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ c * ( fderiv ℝ (fun x => ( f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) . ofLp v ) x ) ( Space.basis u ) =
- ( s . unit . val u * ( ∂ₜ (fun t => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) t ) . ofLp v )
trans c * ( fderiv ℝ ( fun x => planeWave f₀ c s t x v ) x ) ( Space.basis u ) d : ℕ c : ℝ x : Space d t : Time f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d u : Fin d v : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ c * ( fderiv ℝ (fun x => ( f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) . ofLp v ) x ) ( Space.basis u ) =
c * ( fderiv ℝ (fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp v ) x ) ( Space.basis u ) d : ℕ c : ℝ x : Space d t : Time f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d u : Fin d v : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ c * ( fderiv ℝ (fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp v ) x ) ( Space.basis u ) =
- ( s . unit . val u * ( ∂ₜ (fun t => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) t ) . ofLp v )
· d : ℕ c : ℝ x : Space d t : Time f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d u : Fin d v : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ c * ( fderiv ℝ (fun x => ( f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) . ofLp v ) x ) ( Space.basis u ) =
c * ( fderiv ℝ (fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp v ) x ) ( Space.basis u ) rfl All goals completed! 🐙
rw [ ← Space.deriv_eq_fderiv_basis , d : ℕ c : ℝ x : Space d t : Time f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d u : Fin d v : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ c * Space.deriv u (fun x => ( planeWave f₀ c s t x ) . ofLp v ) x =
- ( s . unit . val u * ( ∂ₜ (fun t => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) t ) . ofLp v ) d : ℕ c : ℝ x : Space d t : Time f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d u : Fin d v : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ c * ( s . unit . val u • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp v ) x =
- ( s . unit . val u * ( ∂ₜ (fun t => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) t ) . ofLp v ) planeWave_apply_space_deriv h' u v d : ℕ c : ℝ x : Space d t : Time f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d u : Fin d v : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ c * ( s . unit . val u • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp v ) x =
- ( s . unit . val u * ( ∂ₜ (fun t => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) t ) . ofLp v ) d : ℕ c : ℝ x : Space d t : Time f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d u : Fin d v : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ c * ( s . unit . val u • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp v ) x =
- ( s . unit . val u * ( ∂ₜ (fun t => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) t ) . ofLp v ) ] d : ℕ c : ℝ x : Space d t : Time f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d u : Fin d v : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ c * ( s . unit . val u • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp v ) x =
- ( s . unit . val u * ( ∂ₜ (fun t => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) t ) . ofLp v )
change _ = - ( s . unit u * ∂ₜ ( planeWave f₀ c s · x ) t v ) d : ℕ c : ℝ x : Space d t : Time f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d u : Fin d v : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ c * ( s . unit . val u • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp v ) x =
- ( s . unit . val u * ( ∂ₜ (fun x_1 => planeWave f₀ c s x_1 x ) t ) . ofLp v )
rw [ planeWave_time_deriv h' d : ℕ c : ℝ x : Space d t : Time f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d u : Fin d v : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ c * ( s . unit . val u • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp v ) x =
- ( s . unit . val u * ( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp v ) d : ℕ c : ℝ x : Space d t : Time f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d u : Fin d v : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ c * ( s . unit . val u • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp v ) x =
- ( s . unit . val u * ( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp v ) ] d : ℕ c : ℝ x : Space d t : Time f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d u : Fin d v : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ c * ( s . unit . val u • fun x => ( planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) . ofLp v ) x =
- ( s . unit . val u * ( ( - c • fun t => planeWave (fun x => ( fderiv ℝ f₀ x ) 1 ) c s t x ) t ) . ofLp v )
simp only [ fderiv_eq_smul_deriv , one_smul , Pi.smul_apply , smul_eq_mul , PiLp.smul_apply , neg_mul ,
mul_neg , neg_neg ] d : ℕ c : ℝ x : Space d t : Time f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d u : Fin d v : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ c * ( s . unit . val u * ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp v ) =
s . unit . val u * ( c * ( planeWave (fun x => _root_.deriv f₀ x ) c s t x ) . ofLp v )
ring All goals completed! 🐙
lemma time_differentiable_of_eq_planewave { s : Direction d }
{ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) } { f : Time → Space d → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) }
( h' : Differentiable ℝ f₀ ) ( hf : f = planeWave f₀ c s ) :
Differentiable ℝ fun t => f t x := by d : ℕ c : ℝ x : Space d s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f : Time → Space d → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ Differentiable ℝ fun t => f t x
rw [ hf d : ℕ c : ℝ x : Space d s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f : Time → Space d → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ Differentiable ℝ fun t => planeWave f₀ c s t x d : ℕ c : ℝ x : Space d s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f : Time → Space d → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ Differentiable ℝ fun t => planeWave f₀ c s t x ] d : ℕ c : ℝ x : Space d s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f : Time → Space d → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ Differentiable ℝ fun t => planeWave f₀ c s t x
unfold planeWave d : ℕ c : ℝ x : Space d s : Direction d f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) f : Time → Space d → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ Differentiable ℝ fun t => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t . val )
fun_prop All goals completed! 🐙
lemma crossProduct_time_differentiable_of_right_eq_planewave { s : Direction }
{ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) } { f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) }
( h' : Differentiable ℝ f₀ ) ( hf : f = planeWave f₀ c s ) :
DifferentiableAt ℝ ( fun t => Space.basis . repr s . unit ⨯ₑ₃ ( f t x ) ) t := by c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ DifferentiableAt ℝ
(fun t =>
(fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( crossProduct ( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) ) ( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( f t x ) )
t
rw [ hf , c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ DifferentiableAt ℝ
(fun t =>
(fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( crossProduct ( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) ) ( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) )
t c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ DifferentiableAt ℝ
(fun t =>
(fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯
⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) )
t crossProduct c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ DifferentiableAt ℝ
(fun t =>
(fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯
⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) )
t c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ DifferentiableAt ℝ
(fun t =>
(fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯
⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) )
t ] c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ DifferentiableAt ℝ
(fun t =>
(fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯
⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( planeWave f₀ c s t x ) )
t
unfold planeWave c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ DifferentiableAt ℝ
(fun t =>
(fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯
⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit 3 ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) )
t
apply differentiable_euclid c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ ∀ ( i : Fin 3 ),
Differentiable ℝ fun t =>
( (fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯
⋯ ⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit 3 ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) ) . ofLp
i
intro i c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s i : Fin 3 ⊢ Differentiable ℝ fun t =>
( (fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯
⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit 3 ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) ) . ofLp
i
fin_cases i «0» c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ Differentiable ℝ fun t =>
( (fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯
⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit 3 ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) ) . ofLp
( (fun i => i ) ⟨ 0 , ⋯ ⟩ ) «1» c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ Differentiable ℝ fun t =>
( (fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯
⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit 3 ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) ) . ofLp
( (fun i => i ) ⟨ 1 , ⋯ ⟩ ) «2» c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ Differentiable ℝ fun t =>
( (fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯
⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit 3 ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) ) . ofLp
( (fun i => i ) ⟨ 2 , ⋯ ⟩ ) <;> «0» c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ Differentiable ℝ fun t =>
( (fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯
⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit 3 ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) ) . ofLp
( (fun i => i ) ⟨ 0 , ⋯ ⟩ ) «1» c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ Differentiable ℝ fun t =>
( (fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯
⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit 3 ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) ) . ofLp
( (fun i => i ) ⟨ 1 , ⋯ ⟩ ) «2» c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ Differentiable ℝ fun t =>
( (fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯
⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit 3 ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) ) . ofLp
( (fun i => i ) ⟨ 2 , ⋯ ⟩ )
· «2» c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ Differentiable ℝ fun t =>
( (fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯
⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit 3 ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) ) . ofLp
( (fun i => i ) ⟨ 2 , ⋯ ⟩ ) simp only [ Fin.reduceFinMk , Fin.isValue , Nat.succ_eq_add_one , Nat.reduceAdd ,
WithLp.equiv_apply , LinearMap.mk₂_apply , WithLp.equiv_symm_apply , PiLp.toLp_apply , cons_val ] «2» c : ℝ x : Space t : Time s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) f : Time → Space → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ hf : f = planeWave f₀ c s ⊢ Differentiable ℝ fun t =>
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) . ofLp 0 * ( f₀ ( ⟪ x , s . unit 3 ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) . ofLp 1 -
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) . ofLp 1 * ( f₀ ( ⟪ x , s . unit 3 ⟫_ ℝ - c * t . val ) ) . ofLp 0
fun_prop All goals completed! 🐙
lemma crossProduct_differentiable_of_right_eq_planewave { s : Direction }
{ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) } ( h' : Differentiable ℝ f₀ ) :
DifferentiableAt ℝ ( fun u => Space.basis . repr s . unit ⨯ₑ₃ ( f₀ u ) ) u := by u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ DifferentiableAt ℝ
(fun u =>
(fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( crossProduct ( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) ) ( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( f₀ u ) )
u
rw [ crossProduct u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ DifferentiableAt ℝ
(fun u =>
(fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯
⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( f₀ u ) )
u u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ DifferentiableAt ℝ
(fun u =>
(fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯
⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( f₀ u ) )
u ] u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ DifferentiableAt ℝ
(fun u =>
(fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯
⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( f₀ u ) )
u
apply Differentiable.differentiableAt u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun u =>
(fun a b =>
( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm
( ( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) a ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) b ) ) )
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ( f₀ u )
apply Differentiable.comp hg u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ ⇑ ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm hf u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun u =>
( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( f₀ u ) )
· hg u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ ⇑ ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) . symm simp only [ WithLp.equiv_symm_apply ] hg u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ ( WithLp.toLp 2 )
rw [ @ differentiable_euclidean hg u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ ∀ ( i : Fin 3 ), Differentiable ℝ fun x => ( WithLp.toLp 2 x ) . ofLp i hg u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ ∀ ( i : Fin 3 ), Differentiable ℝ fun x => ( WithLp.toLp 2 x ) . ofLp i ] hg u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ ∀ ( i : Fin 3 ), Differentiable ℝ fun x => ( WithLp.toLp 2 x ) . ofLp i
intro i hg u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin 3 ⊢ Differentiable ℝ fun x => ( WithLp.toLp 2 x ) . ofLp i
simp only hg u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin 3 ⊢ Differentiable ℝ fun x => x i
fun_prop All goals completed! 🐙
apply differentiable_pi'' hf u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ ∀ ( i : Fin 3 ),
Differentiable ℝ fun x =>
( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( f₀ x ) ) i
intro i hf u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ i : Fin 3 ⊢ Differentiable ℝ fun x =>
( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( f₀ x ) ) i
fin_cases i hf.«0» u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x =>
( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( f₀ x ) ) ( (fun i => i ) ⟨ 0 , ⋯ ⟩ ) hf.«1» u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x =>
( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( f₀ x ) ) ( (fun i => i ) ⟨ 1 , ⋯ ⟩ ) hf.«2» u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x =>
( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( f₀ x ) ) ( (fun i => i ) ⟨ 2 , ⋯ ⟩ ) <;> hf.«0» u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x =>
( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( f₀ x ) ) ( (fun i => i ) ⟨ 0 , ⋯ ⟩ ) hf.«1» u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x =>
( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( f₀ x ) ) ( (fun i => i ) ⟨ 1 , ⋯ ⟩ ) hf.«2» u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x =>
( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( f₀ x ) ) ( (fun i => i ) ⟨ 2 , ⋯ ⟩ )
· hf.«2» u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x =>
( ( LinearMap.mk₂ ℝ (fun a b => ![ a 1 * b 2 - a 2 * b 1 , a 2 * b 0 - a 0 * b 2 , a 0 * b 1 - a 1 * b 0 ] ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) ) )
( ( WithLp.equiv 2 ( Fin 3 → ℝ ) ) ( f₀ x ) ) ( (fun i => i ) ⟨ 2 , ⋯ ⟩ ) simp only [ Nat.succ_eq_add_one , Nat.reduceAdd , Fin.isValue , WithLp.equiv_apply ,
Fin.reduceFinMk , LinearMap.mk₂_apply , cons_val ] hf.«2» u : ℝ s : Direction f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin 3 ) h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ Differentiable ℝ fun x =>
( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) . ofLp 0 * ( f₀ x ) . ofLp 1 - ( Space.basis . repr ( s . unit 3 ) ) . ofLp 1 * ( f₀ x ) . ofLp 0
fun_prop All goals completed! 🐙
lemma wave_fderiv_inner_eq_inner_fderiv_proj { f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) }
{ s : Direction d } { i : Fin d } ( h' : Differentiable ℝ f₀ ) :
∀ x y , s . unit i * ( fderiv ℝ ( fun x => f₀ ( inner ℝ x s . unit - c * t ) ) x ) y i
=
inner ℝ y s . unit * ( fderiv ℝ ( fun x => f₀ ( inner ℝ x s . unit - c * t ) i ) x )
( Space.basis i ) := by d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ ⊢ ∀ ( x y : Space d ),
s . unit . val i * ( ( fderiv ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x ) y ) . ofLp i =
⟪ y , s . unit ⟫_ ℝ * ( fderiv ℝ (fun x => ( f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) . ofLp i ) x ) ( Space.basis i )
intro x y d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ s . unit . val i * ( ( fderiv ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x ) y ) . ofLp i =
⟪ y , s . unit ⟫_ ℝ * ( fderiv ℝ (fun x => ( f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) . ofLp i ) x ) ( Space.basis i )
change _ =
inner ℝ y s . unit * ( fderiv ℝ ( ( EuclideanSpace.proj i ) ∘
fun x => f₀ ( inner ℝ x s . unit - c * t ) ) x ) ( Space.basis i ) d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ s . unit . val i * ( ( fderiv ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x ) y ) . ofLp i =
⟪ y , s . unit ⟫_ ℝ * ( fderiv ℝ ( ⇑ ( EuclideanSpace.proj i ) ∘ fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x ) ( Space.basis i )
rw [ fderiv_comp d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ s . unit . val i * ( ( fderiv ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x ) y ) . ofLp i =
⟪ y , s . unit ⟫_ ℝ *
( fderiv ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj i ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ∘SL
fderiv ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x )
( Space.basis i ) hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj i ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ s . unit . val i * ( ( fderiv ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x ) y ) . ofLp i =
⟪ y , s . unit ⟫_ ℝ *
( fderiv ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj i ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ∘SL
fderiv ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x )
( Space.basis i ) hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj i ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x ] d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ s . unit . val i * ( ( fderiv ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x ) y ) . ofLp i =
⟪ y , s . unit ⟫_ ℝ *
( fderiv ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj i ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) ∘SL
fderiv ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x )
( Space.basis i ) hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj i ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x
simp only [ ContinuousLinearMap.fderiv , ContinuousLinearMap.coe_comp , Function.comp_apply ,
PiLp.proj_apply ] d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ s . unit . val i * ( ( fderiv ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x ) y ) . ofLp i =
⟪ y , s . unit ⟫_ ℝ * ( ( fderiv ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x ) ( Space.basis i ) ) . ofLp i hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj i ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x
change s . unit i * ( fderiv ℝ ( f₀ ∘ fun x => ( inner ℝ x s . unit - c * t ) ) x ) y i =
inner ℝ y s . unit * ( fderiv ℝ ( f₀ ∘ fun x => ( inner ℝ x s . unit - c * t ) ) x )
( Space.basis i ) i d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ s . unit . val i * ( ( fderiv ℝ ( f₀ ∘ fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x ) y ) . ofLp i =
⟪ y , s . unit ⟫_ ℝ * ( ( fderiv ℝ ( f₀ ∘ fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x ) ( Space.basis i ) ) . ofLp i hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj i ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x
rw [ fderiv_comp , d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ s . unit . val i * ( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ∘SL fderiv ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x ) y ) . ofLp i =
⟪ y , s . unit ⟫_ ℝ *
( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ∘SL fderiv ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x ) ( Space.basis i ) ) . ofLp i hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) x hg d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (⇑ ( EuclideanSpace.proj i ) ) ( f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) hf d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ) x d : ℕ c : ℝ t : ℝ f₀ : ℝ → EuclideanSpace ℝ ( Fin d ) s : Direction d i : Fin d h' : Differentiable ℝ f₀ x : Space d y : Space d ⊢ s . unit . val i *
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( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ∘SL ( fderiv ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ ) x - fderiv ℝ (fun x => c * t ) x ) )
( Space.basis i ) ) . ofLp
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( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ∘SL ( fderiv ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ ) x - fderiv ℝ (fun x => c * t ) x ) )
y ) . ofLp
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( Space.basis i ) ) . ofLp
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( ( fderiv ℝ f₀ ( ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ - c * t ) ∘SL ( fderiv ℝ (fun x => ⟪ x , s . unit ⟫_ ℝ ) x - fderiv ℝ (fun x => c * t ) x ) )
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( Space.basis i ) ) . ofLp
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Function.comp_apply , differentiableAt_fun_id , differentiableAt_const , fderiv_inner_apply ,
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