Imports
Contraction identities for the generalized Kronecker delta
i. Overview
This file proves the combinatorial contraction facts for the generalizedKroneckerDelta
(defined in Physlib.Mathematics.KroneckerDelta.Basic). Everything here is purely about the
abstract generalized Kronecker delta on a finite type; no tensor or physics content appears.
These facts are the reusable backbone of the Levi-Civita epsilon-epsilon contraction
identities proved in Physlib.Relativity.Tensors.LeviCivita.Contractions.
The central fact is that summing a generalizedKroneckerDelta over one shared index lowers
its rank by one and multiplies it by card α - n (generalizedKroneckerDelta_sum_snoc).
Iterating that fact, together with the product identity
generalizedKroneckerDelta μ ν = generalizedKroneckerDelta μ id * generalizedKroneckerDelta ν id
(generalizedKroneckerDelta_mul), gives the fully-, singly-, and doubly-free
contractions sum_generalizedKroneckerDelta_self, sum_generalizedKroneckerDelta_cons, and
sum_generalizedKroneckerDelta_cons₂ over Fin 4.
The proof of generalizedKroneckerDelta_sum_snoc borders the delta matrix with the appended
index (a Schur-complement reduction) and then applies the ring-general rank-one determinant
update lemma Matrix.det_add_rankOne, which is proved here because Mathlib only provides the
matrix determinant lemma when det A is a unit and Kronecker-delta matrices are singular.
ii. Key results
generalizedKroneckerDelta_sum_snoc : summing over one shared index lowers the rank by one.
sum_generalizedKroneckerDelta_mul_self, sum_generalizedKroneckerDelta_mul_cons,
sum_generalizedKroneckerDelta_mul_cons₂ : the fully-, singly-, and doubly-free symbol-level
contractions over Fin 4.
iii. Table of contents
A. The rank-one determinant update
B. Contraction identities
iv. References
@[ expose ] public section
A. The rank-one determinant update
Expanding the determinant of a rank-one row update over a finite set of rows.
For i ∈ s the row A i is replaced by A i + w i • b; the other rows are untouched.
private lemma det_add_rankOne_aux { ι : Type* } [ DecidableEq ι ] [ Fintype ι ] { R : Type* }
[ CommRing R ] ( A : Matrix ι ι R ) ( w b : ι → R ) ( s : Finset ι ) :
( A + Matrix.of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ) . det
= A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det := by ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R s : Finset ι ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ) . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
classical
induction s using Finset.induction with
| empty => empty ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ ∅ then w i else 0 ) * b j ) . det = A . det + ∑ i ∈ ∅ , w i * ( A . updateRow i b ) . det
have h0 : ( Matrix.of fun ( i : ι ) ( j : ι ) =>
( if i ∈ ( ∅ : Finset ι ) then w i else 0 ) * b j ) = 0 := by ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R s : Finset ι ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ) . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det empty ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R h0 : ( of fun i j => ( if i ∈ ∅ then w i else 0 ) * b j ) = 0 ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ ∅ then w i else 0 ) * b j ) . det = A . det + ∑ i ∈ ∅ , w i * ( A . updateRow i b ) . det
ext i j ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i : ι j : ι ⊢ of (fun i j => ( if i ∈ ∅ then w i else 0 ) * b j ) i j = 0 i j empty ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R h0 : ( of fun i j => ( if i ∈ ∅ then w i else 0 ) * b j ) = 0 ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ ∅ then w i else 0 ) * b j ) . det = A . det + ∑ i ∈ ∅ , w i * ( A . updateRow i b ) . det ; simp empty ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R h0 : ( of fun i j => ( if i ∈ ∅ then w i else 0 ) * b j ) = 0 ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ ∅ then w i else 0 ) * b j ) . det = A . det + ∑ i ∈ ∅ , w i * ( A . updateRow i b ) . det empty ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R h0 : ( of fun i j => ( if i ∈ ∅ then w i else 0 ) * b j ) = 0 ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ ∅ then w i else 0 ) * b j ) . det = A . det + ∑ i ∈ ∅ , w i * ( A . updateRow i b ) . det
rw [ h0 , empty ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R h0 : ( of fun i j => ( if i ∈ ∅ then w i else 0 ) * b j ) = 0 ⊢ ( A + 0 ) . det = A . det + ∑ i ∈ ∅ , w i * ( A . updateRow i b ) . det All goals completed! 🐙 add_zero , empty ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R h0 : ( of fun i j => ( if i ∈ ∅ then w i else 0 ) * b j ) = 0 ⊢ A . det = A . det + ∑ i ∈ ∅ , w i * ( A . updateRow i b ) . det All goals completed! 🐙 Finset.sum_empty , empty ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R h0 : ( of fun i j => ( if i ∈ ∅ then w i else 0 ) * b j ) = 0 ⊢ A . det = A . det + 0 All goals completed! 🐙 add_zero empty ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R h0 : ( of fun i j => ( if i ∈ ∅ then w i else 0 ) * b j ) = 0 ⊢ A . det = A . det All goals completed! 🐙 ] All goals completed! 🐙
| @ insert i₀ s hi₀ ih => insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s ih : ( A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ) . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
set Ms : Matrix ι ι R := A + Matrix.of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j with hMs insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
have hrow : Ms i₀ = A i₀ := by ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R s : Finset ι ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ) . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
funext j ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j j : ι ⊢ Ms i₀ j = A i₀ j insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det ; simp [ hMs , hi₀ ] insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
have key : ( A + Matrix.of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j )
= Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) := by ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R s : Finset ι ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ) . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
ext i j ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ i : ι j : ι ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) i j = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) i j insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
by_cases hi : i = i₀ pos ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ i : ι j : ι hi : i = i₀ ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) i j = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) i j neg ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ i : ι j : ι hi : ¬ i = i₀ ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) i j = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) i j insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
· pos ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ i : ι j : ι hi : i = i₀ ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) i j = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) i j insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det subst hi pos ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R s : Finset ι Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j i : ι j : ι hi₀ : i ∉ s hrow : Ms i = A i ⊢ ( A + of fun i_1 j => ( if i_1 ∈ insert i s then w i_1 else 0 ) * b j ) i j = Ms . updateRow i ( A i + w i • b ) i j insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
simp [ Matrix.updateRow_self , hi₀ , Pi.add_apply , Pi.smul_apply , smul_eq_mul ] All goals completed! 🐙 insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
· neg ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ i : ι j : ι hi : ¬ i = i₀ ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) i j = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) i j insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det rw [ Matrix.updateRow_ne hi neg ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ i : ι j : ι hi : ¬ i = i₀ ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) i j = Ms i j neg ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ i : ι j : ι hi : ¬ i = i₀ ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) i j = Ms i j insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det ] neg ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ i : ι j : ι hi : ¬ i = i₀ ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) i j = Ms i j insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
simp [ hMs , Finset.mem_insert , hi ] insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
rw [ key , insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det Matrix.det_updateRow_add , insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + ( Ms . updateRow i₀ ( w i₀ • b ) ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det Matrix.det_updateRow_smul insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det ] insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
have h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det := by ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R s : Finset ι ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ) . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
rw [ ← hrow , ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( Ms i₀ ) ) . det = Ms . det insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det Matrix.updateRow_eq_self ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) ⊢ Ms . det = Ms . det insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det ] insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
have h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det := by ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R s : Finset ι ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ) . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
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( fun i => if i ∈ s then w i else 0 ) i₀ ( by ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det ⊢ ( if i₀ ∈ s then w i₀ else 0 ) = 0 insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det simp [ hi₀ ] All goals completed! 🐙 insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det ) ? _
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by_cases hi : i = i₀ pos ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det i : ι j : ι hi : i = i₀ ⊢ Ms . updateRow i₀ b i j = A . updateRow i₀ b i j + ( if i ∈ s then w i else 0 ) * A . updateRow i₀ b i₀ j neg ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det i : ι j : ι hi : ¬ i = i₀ ⊢ Ms . updateRow i₀ b i j = A . updateRow i₀ b i j + ( if i ∈ s then w i else 0 ) * A . updateRow i₀ b i₀ j insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
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A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ) i j = A i j + ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs neg ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι 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then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det i : ι j : ι hi : ¬ i = i₀ ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ) i j = A i j + ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det ] neg ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det i : ι j : ι hi : ¬ i = i₀ ⊢ ( A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ) i j = A i j + ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
simp [ Matrix.add_apply ] insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det
rw [ h1 , insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ Ms . det + w i₀ * ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det + w i₀ * ( A . updateRow i₀ b ) . det =
A . det + ( w i₀ * ( A . updateRow i₀ b ) . det + ∑ x ∈ s , w x * ( A . updateRow x b ) . det ) h2 , insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ Ms . det + w i₀ * ( A . updateRow i₀ b ) . det = A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det + w i₀ * ( A . updateRow i₀ b ) . det =
A . det + ( w i₀ * ( A . updateRow i₀ b ) . det + ∑ x ∈ s , w x * ( A . updateRow x b ) . det ) ih , insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det + w i₀ * ( A . updateRow i₀ b ) . det =
A . det + ∑ i ∈ insert i₀ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det + w i₀ * ( A . updateRow i₀ b ) . det =
A . det + ( w i₀ * ( A . updateRow i₀ b ) . det + ∑ x ∈ s , w x * ( A . updateRow x b ) . det ) Finset.sum_insert hi₀ insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det + w i₀ * ( A . updateRow i₀ b ) . det =
A . det + ( w i₀ * ( A . updateRow i₀ b ) . det + ∑ x ∈ s , w x * ( A . updateRow x b ) . det ) insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det + w i₀ * ( A . updateRow i₀ b ) . det =
A . det + ( w i₀ * ( A . updateRow i₀ b ) . det + ∑ x ∈ s , w x * ( A . updateRow x b ) . det ) ] insert ι : Type u_1 inst✝² : DecidableEq ι inst✝¹ : Fintype ι R : Type u_2 inst✝ : CommRing R A : Matrix ι ι R w : ι → R b : ι → R i₀ : ι s : Finset ι hi₀ : i₀ ∉ s Ms : Matrix ι ι R := A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j ih : Ms . det = A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det hMs : Ms = A + of fun i j => ( if i ∈ s then w i else 0 ) * b j hrow : Ms i₀ = A i₀ key : ( A + of fun i j => ( if i ∈ insert i₀ s then w i else 0 ) * b j ) = Ms . updateRow i₀ ( A i₀ + w i₀ • b ) h1 : ( Ms . updateRow i₀ ( A i₀ ) ) . det = Ms . det h2 : ( Ms . updateRow i₀ b ) . det = ( A . updateRow i₀ b ) . det ⊢ A . det + ∑ i ∈ s , w i * ( A . updateRow i b ) . det + w i₀ * ( A . updateRow i₀ b ) . det =
A . det + ( w i₀ * ( A . updateRow i₀ b ) . det + ∑ x ∈ s , w x * ( A . updateRow x b ) . det )
ring All goals completed! 🐙
Rank-one determinant update (the ring-general matrix determinant lemma for an outer
product, valid even when A is singular). Adding the rank-one matrix w ⊗ b to A changes the
determinant by ∑ i, w i * det (A.updateRow i b).
Mathlib only provides this when det A is a unit (Matrix.det_add_replicateCol_mul_replicateRow);
the singular case is needed here because Kronecker-delta matrices are typically singular.
B. Contraction identities
The product of two Levi-Civita-type symbols is a generalized Kronecker delta:
δ^{μ}_{·} · δ^{ν}_{·} = δ^{μ}_{ν}, where each single factor is a Kronecker matrix against the
identity. This is the Lean form of ε^{μ₁…μₙ} ε_{ν₁…νₙ} = δ^{μ₁…μₙ}_{ν₁…νₙ}.
lemma generalizedKroneckerDelta_mul ( μ ν : α → α ) :
generalizedKroneckerDelta μ id * generalizedKroneckerDelta ν id
= generalizedKroneckerDelta μ ν := by α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α ⊢ generalizedKroneckerDelta μ id * generalizedKroneckerDelta ν id = generalizedKroneckerDelta μ ν
rw [ show generalizedKroneckerDelta ν id
= ( Matrix.of fun i j => ( ( kroneckerDelta ( ν i ) ( id j ) : ℕ ) : ℤ ) ) . det from rfl , α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α ⊢ generalizedKroneckerDelta μ id * ( of fun i j => ↑ δ[ ν i , id j ] ) . det = generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α ⊢ ( ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , id j ] ) * ( of fun i j => ↑ δ[ ν i , id j ] ) ᵀ ) . det = ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] ) . det
← Matrix.det_transpose , α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α ⊢ generalizedKroneckerDelta μ id * ( of fun i j => ↑ δ[ ν i , id j ] ) ᵀ . det = generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α ⊢ ( ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , id j ] ) * ( of fun i j => ↑ δ[ ν i , id j ] ) ᵀ ) . det = ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] ) . det
show generalizedKroneckerDelta μ id
= ( Matrix.of fun i j => ( ( kroneckerDelta ( μ i ) ( id j ) : ℕ ) : ℤ ) ) . det from rfl , α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α ⊢ ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , id j ] ) . det * ( of fun i j => ↑ δ[ ν i , id j ] ) ᵀ . det = generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α ⊢ ( ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , id j ] ) * ( of fun i j => ↑ δ[ ν i , id j ] ) ᵀ ) . det = ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] ) . det
← Matrix.det_mul , α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α ⊢ ( ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , id j ] ) * ( of fun i j => ↑ δ[ ν i , id j ] ) ᵀ ) . det = generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α ⊢ ( ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , id j ] ) * ( of fun i j => ↑ δ[ ν i , id j ] ) ᵀ ) . det = ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] ) . det
show generalizedKroneckerDelta μ ν
= ( Matrix.of fun i j => ( ( kroneckerDelta ( μ i ) ( ν j ) : ℕ ) : ℤ ) ) . det from rfl α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α ⊢ ( ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , id j ] ) * ( of fun i j => ↑ δ[ ν i , id j ] ) ᵀ ) . det = ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α ⊢ ( ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , id j ] ) * ( of fun i j => ↑ δ[ ν i , id j ] ) ᵀ ) . det = ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] ) . det ] α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α ⊢ ( ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , id j ] ) * ( of fun i j => ↑ δ[ ν i , id j ] ) ᵀ ) . det = ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] ) . det
congr 1 α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α ⊢ ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , id j ] ) * ( of fun i j => ↑ δ[ ν i , id j ] ) ᵀ = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ]
ext i j α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α i : α j : α ⊢ ( ( of fun i j => ↑ δ[ μ i , id j ] ) * ( of fun i j => ↑ δ[ ν i , id j ] ) ᵀ ) i j = of (fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] ) i j
rw [ Matrix.mul_apply α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α i : α j : α ⊢ ∑ j_1 , of (fun i j => ↑ δ[ μ i , id j ] ) i j_1 * ( of fun i j => ↑ δ[ ν i , id j ] ) ᵀ j_1 j = of (fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] ) i j α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α i : α j : α ⊢ ∑ j_1 , of (fun i j => ↑ δ[ μ i , id j ] ) i j_1 * ( of fun i j => ↑ δ[ ν i , id j ] ) ᵀ j_1 j = of (fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] ) i j ] α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α i : α j : α ⊢ ∑ j_1 , of (fun i j => ↑ δ[ μ i , id j ] ) i j_1 * ( of fun i j => ↑ δ[ ν i , id j ] ) ᵀ j_1 j = of (fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] ) i j
simp only [ Matrix.of_apply , Matrix.transpose_apply , id_eq , ← Nat.cast_mul ] α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α i : α j : α ⊢ ∑ x , ↑ ( δ[ μ i , x ] * δ[ ν j , x ] ) = ↑ δ[ μ i , ν j ]
rw [ ← Nat.cast_sum α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α i : α j : α ⊢ ↑ (∑ x , δ[ μ i , x ] * δ[ ν j , x ] ) = ↑ δ[ μ i , ν j ] α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α i : α j : α ⊢ ↑ (∑ x , δ[ μ i , x ] * δ[ ν j , x ] ) = ↑ δ[ μ i , ν j ] ] α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α i : α j : α ⊢ ↑ (∑ x , δ[ μ i , x ] * δ[ ν j , x ] ) = ↑ δ[ μ i , ν j ]
congr 1 α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α i : α j : α ⊢ ∑ x , δ[ μ i , x ] * δ[ ν j , x ] = δ[ μ i , ν j ]
rw [ Finset.sum_congr rfl fun k _ => by α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α i : α j : α k : α x✝ : k ∈ Finset.univ ⊢ δ[ μ i , k ] * δ[ ν j , k ] = ?m.169 k α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α i : α j : α ⊢ ∑ k , δ[ μ i , k ] * δ[ k , ν j ] = δ[ μ i , ν j ] rw [ KroneckerDelta.symm ( ν j ) k α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α i : α j : α k : α x✝ : k ∈ Finset.univ ⊢ δ[ μ i , k ] * δ[ k , ν j ] = ?m.169 k All goals completed! 🐙 α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α i : α j : α ⊢ ∑ k , δ[ μ i , k ] * δ[ k , ν j ] = δ[ μ i , ν j ] ] All goals completed! 🐙 α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α i : α j : α ⊢ ∑ k , δ[ μ i , k ] * δ[ k , ν j ] = δ[ μ i , ν j ] ] α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α μ : α → α ν : α → α i : α j : α ⊢ ∑ k , δ[ μ i , k ] * δ[ k , ν j ] = δ[ μ i , ν j ]
exact KroneckerDelta.sum_mul ( μ i ) ( ν j ) All goals completed! 🐙
Generalized Kronecker delta contraction. Summing a generalizedKroneckerDelta over one
shared index appended at the end lowers the rank by one and pulls out a factor of card α - n.
This is the reusable combinatorial fact behind all epsilon-epsilon identities.
lemma generalizedKroneckerDelta_sum_snoc { n : ℕ } ( μ ν : Fin n → α ) :
∑ a : α , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a )
= ( ( Fintype.card α : ℤ ) - n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν := by α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
set A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ :=
Matrix.of fun i j => ( ( kroneckerDelta ( μ i ) ( ν j ) : ℕ ) : ℤ ) with hA α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
set b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ( ( kroneckerDelta a ( ν j ) : ℕ ) : ℤ ) with hb α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
have key ( a : α ) : generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a )
= A . det - ∑ i , ( ( kroneckerDelta ( μ i ) a : ℕ ) : ℤ ) * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det := by
set B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ :=
Matrix.of fun i _ => ( ( kroneckerDelta ( μ i ) a : ℕ ) : ℤ ) with hB α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
set C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := Matrix.of fun _ j => b a j with hC α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
have hblk : ( Matrix.of fun ( i j : Fin ( n + 1 ) ) =>
( ( kroneckerDelta ( ( Fin.snoc μ a : Fin ( n + 1 ) → α ) i )
( ( Fin.snoc ν a : Fin ( n + 1 ) → α ) j ) : ℕ ) : ℤ ) ) . submatrix
finSumFinEquiv finSumFinEquiv = Matrix.fromBlocks A B C 1 := by α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
simp only [ ← Fin.append_right_eq_snoc μ ( fun _ => a ) , ← Fin.append_right_eq_snoc ν
( fun _ => a ) ] α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j ⊢ ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.append μ (fun x => a ) i , Fin.append ν (fun x => a ) j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv =
fromBlocks A B C 1 α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
ext ( i | i ) ( j | j ) inl.inl α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j i : Fin n j : Fin n ⊢ ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.append μ (fun x => a ) i , Fin.append ν (fun x => a ) j ] ) . submatrix (⇑ finSumFinEquiv )
(⇑ finSumFinEquiv ) ( Sum.inl i ) ( Sum.inl j ) =
fromBlocks A B C 1 ( Sum.inl i ) ( Sum.inl j ) inl.inr α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j i : Fin n j : Fin 1 ⊢ ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.append μ (fun x => a ) i , Fin.append ν (fun x => a ) j ] ) . submatrix (⇑ finSumFinEquiv )
(⇑ finSumFinEquiv ) ( Sum.inl i ) ( Sum.inr j ) =
fromBlocks A B C 1 ( Sum.inl i ) ( Sum.inr j ) inr.inl α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j i : Fin 1 j : Fin n ⊢ ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.append μ (fun x => a ) i , Fin.append ν (fun x => a ) j ] ) . submatrix (⇑ finSumFinEquiv )
(⇑ finSumFinEquiv ) ( Sum.inr i ) ( Sum.inl j ) =
fromBlocks A B C 1 ( Sum.inr i ) ( Sum.inl j ) inr.inr α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j i : Fin 1 j : Fin 1 ⊢ ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.append μ (fun x => a ) i , Fin.append ν (fun x => a ) j ] ) . submatrix (⇑ finSumFinEquiv )
(⇑ finSumFinEquiv ) ( Sum.inr i ) ( Sum.inr j ) =
fromBlocks A B C 1 ( Sum.inr i ) ( Sum.inr j ) α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
· inl.inl α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j i : Fin n j : Fin n ⊢ ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.append μ (fun x => a ) i , Fin.append ν (fun x => a ) j ] ) . submatrix (⇑ finSumFinEquiv )
(⇑ finSumFinEquiv ) ( Sum.inl i ) ( Sum.inl j ) =
fromBlocks A B C 1 ( Sum.inl i ) ( Sum.inl j ) α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν simp [ hA ] All goals completed! 🐙 α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
· inl.inr α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j i : Fin n j : Fin 1 ⊢ ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.append μ (fun x => a ) i , Fin.append ν (fun x => a ) j ] ) . submatrix (⇑ finSumFinEquiv )
(⇑ finSumFinEquiv ) ( Sum.inl i ) ( Sum.inr j ) =
fromBlocks A B C 1 ( Sum.inl i ) ( Sum.inr j ) α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν simp [ hB ] All goals completed! 🐙 α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
· inr.inl α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j i : Fin 1 j : Fin n ⊢ ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.append μ (fun x => a ) i , Fin.append ν (fun x => a ) j ] ) . submatrix (⇑ finSumFinEquiv )
(⇑ finSumFinEquiv ) ( Sum.inr i ) ( Sum.inl j ) =
fromBlocks A B C 1 ( Sum.inr i ) ( Sum.inl j ) α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν simp [ hC , hb ] All goals completed! 🐙 α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
· inr.inr α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j i : Fin 1 j : Fin 1 ⊢ ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.append μ (fun x => a ) i , Fin.append ν (fun x => a ) j ] ) . submatrix (⇑ finSumFinEquiv )
(⇑ finSumFinEquiv ) ( Sum.inr i ) ( Sum.inr j ) =
fromBlocks A B C 1 ( Sum.inr i ) ( Sum.inr j ) α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν simp [ Subsingleton.elim i j ] α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
have hBC : A - B * C
= A + Matrix.of fun i j => - ( ( kroneckerDelta ( μ i ) a : ℕ ) : ℤ ) * b a j := by α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 hBC : A - B * C = A + of fun i j => - ↑ δ[ μ i , a ] * b a j ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
ext i j α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 i : Fin n j : Fin n ⊢ ( A - B * C ) i j = ( A + of fun i j => - ↑ δ[ μ i , a ] * b a j ) i j α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 hBC : A - B * C = A + of fun i j => - ↑ δ[ μ i , a ] * b a j ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
simp [ hB , hC , Matrix.mul_apply , sub_eq_add_neg ] α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 hBC : A - B * C = A + of fun i j => - ↑ δ[ μ i , a ] * b a j ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 hBC : A - B * C = A + of fun i j => - ↑ δ[ μ i , a ] * b a j ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
rw [ show generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a )
= ( ( Matrix.of fun ( i j : Fin ( n + 1 ) ) =>
( ( kroneckerDelta ( ( Fin.snoc μ a : Fin ( n + 1 ) → α ) i )
( ( Fin.snoc ν a : Fin ( n + 1 ) → α ) j ) : ℕ ) : ℤ ) ) . submatrix
finSumFinEquiv finSumFinEquiv ) . det from ( Matrix.det_submatrix_equiv_self _ _ ) . symm , α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 hBC : A - B * C = A + of fun i j => - ↑ δ[ μ i , a ] * b a j ⊢ ( ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv ) . det =
A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 hBC : A - B * C = A + of fun i j => - ↑ δ[ μ i , a ] * b a j ⊢ A . det + ∑ i , - ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
hblk , α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 hBC : A - B * C = A + of fun i j => - ↑ δ[ μ i , a ] * b a j ⊢ ( fromBlocks A B C 1 ) . det = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] a : α B : Matrix ( Fin n ) ( Fin 1 ) ℤ := of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] hB : B = of fun i x => ↑ δ[ μ i , a ] C : Matrix ( Fin 1 ) ( Fin n ) ℤ := of fun x j => b a j hC : C = of fun x j => b a j hblk : ( of fun i j => ↑ δ[ Fin.snoc μ a i , Fin.snoc ν a j ] ) . submatrix ⇑ finSumFinEquiv ⇑ finSumFinEquiv = fromBlocks A B C 1 hBC : A - 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simp only [ neg_mul , Finset.sum_neg_distrib , ← sub_eq_add_neg ] α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
have hrow ( i : Fin n ) :
∑ a : α , ( ( kroneckerDelta ( μ i ) a : ℕ ) : ℤ ) * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det := by
simp_rw [ α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det i : Fin n ⊢ ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν ← nsmul_eq_mul , α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det i : Fin n ⊢ ∑ x , δ[ μ i , x ] • ( A . updateRow i ( b x ) ) . det = A . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν KroneckerDelta.sum_smul α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det i : Fin n ⊢ ( A . updateRow i ( b ( μ i ) ) ) . det = A . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν ]
exact congrArg Matrix.det ( A . updateRow_eq_self i ) α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ ∑ a , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν
rw [ Finset.sum_congr rfl fun a _ => key a , α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ ∑ a , ( A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det ) = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Fintype.card α • A . det - n • A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * A . det Finset.sum_sub_distrib , α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ ∑ x , A . det - ∑ x , ∑ i , ↑ δ[ μ i , x ] * ( A . updateRow i ( b x ) ) . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Fintype.card α • A . det - n • A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * A . det Finset.sum_comm , α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ ∑ x , A . det - ∑ y , ∑ x , ↑ δ[ μ y , x ] * ( A . updateRow y ( b x ) ) . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Fintype.card α • A . det - n • A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * A . det
Finset.sum_congr rfl fun i _ => hrow i , α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ ∑ x , A . det - ∑ i , A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Fintype.card α • A . det - n • A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * A . det Finset.sum_const , α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Finset.univ . card • A . det - ∑ i , A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Fintype.card α • A . det - n • A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * A . det Finset.sum_const , α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Finset.univ . card • A . det - Finset.univ . card • A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Fintype.card α • A . det - n • A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * A . det
Finset.card_univ , α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Fintype.card α • A . det - Finset.univ . card • A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Fintype.card α • A . det - n • A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * A . det Finset.card_univ , α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Fintype.card α • A . det - Fintype.card ( Fin n ) • A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Fintype.card α • A . det - n • A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * A . det Fintype.card_fin , α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Fintype.card α • A . det - n • A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * generalizedKroneckerDelta μ ν α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Fintype.card α • A . det - n • A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * A . det
show generalizedKroneckerDelta μ ν = A . det from rfl α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Fintype.card α • A . det - n • A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * A . det α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Fintype.card α • A . det - n • A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * A . det ] α : Type inst✝¹ : DecidableEq α inst✝ : Fintype α n : ℕ μ : Fin n → α ν : Fin n → α A : Matrix ( Fin n ) ( Fin n ) ℤ := of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] hA : A = of fun i j => ↑ δ[ μ i , ν j ] b : α → Fin n → ℤ := fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] hb : b = fun a j => ↑ δ[ a , ν j ] key : ∀ ( a : α ), generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc μ a ) ( Fin.snoc ν a ) = A . det - ∑ i , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det hrow : ∀ ( i : Fin n ), ∑ a , ↑ δ[ μ i , a ] * ( A . updateRow i ( b a ) ) . det = A . det ⊢ Fintype.card α • A . det - n • A . det = ( ↑ ( Fintype.card α ) - ↑ n ) * A . det
simp only [ nsmul_eq_mul , ← sub_mul ] All goals completed! 🐙
Split a sum over (k+1)-tuples into the last entry and the initial k-tuple.
private lemma sum_over_snoc { X : Type* } [ Fintype X ] { M : Type* } [ AddCommMonoid M ] { k : ℕ }
( F : ( Fin ( k + 1 ) → X ) → M ) :
∑ h : Fin ( k + 1 ) → X , F h = ∑ h' : Fin k → X , ∑ c : X , F ( Fin.snoc h' c ) := by X : Type u_1 inst✝¹ : Fintype X M : Type u_2 inst✝ : AddCommMonoid M k : ℕ F : ( Fin ( k + 1 ) → X ) → M ⊢ ∑ h , F h = ∑ h' , ∑ c , F ( Fin.snoc h' c )
rw [ ← Equiv.sum_comp ( Fin.snocEquiv ( fun _ => X ) ) F , X : Type u_1 inst✝¹ : Fintype X M : Type u_2 inst✝ : AddCommMonoid M k : ℕ F : ( Fin ( k + 1 ) → X ) → M ⊢ ∑ i , F ( ( Fin.snocEquiv fun x => X ) i ) = ∑ h' , ∑ c , F ( Fin.snoc h' c ) X : Type u_1 inst✝¹ : Fintype X M : Type u_2 inst✝ : AddCommMonoid M k : ℕ F : ( Fin ( k + 1 ) → X ) → M ⊢ ∑ y , ∑ x , F ( ( Fin.snocEquiv fun x => X ) ( x , y ) ) = ∑ h' , ∑ c , F ( Fin.snoc h' c ) Fintype.sum_prod_type , X : Type u_1 inst✝¹ : Fintype X M : Type u_2 inst✝ : AddCommMonoid M k : ℕ F : ( Fin ( k + 1 ) → X ) → M ⊢ ∑ x , ∑ y , F ( ( Fin.snocEquiv fun x => X ) ( x , y ) ) = ∑ h' , ∑ c , F ( Fin.snoc h' c ) X : Type u_1 inst✝¹ : Fintype X M : Type u_2 inst✝ : AddCommMonoid M k : ℕ F : ( Fin ( k + 1 ) → X ) → M ⊢ ∑ y , ∑ x , F ( ( Fin.snocEquiv fun x => X ) ( x , y ) ) = ∑ h' , ∑ c , F ( Fin.snoc h' c ) Finset.sum_comm X : Type u_1 inst✝¹ : Fintype X M : Type u_2 inst✝ : AddCommMonoid M k : ℕ F : ( Fin ( k + 1 ) → X ) → M ⊢ ∑ y , ∑ x , F ( ( Fin.snocEquiv fun x => X ) ( x , y ) ) = ∑ h' , ∑ c , F ( Fin.snoc h' c ) X : Type u_1 inst✝¹ : Fintype X M : Type u_2 inst✝ : AddCommMonoid M k : ℕ F : ( Fin ( k + 1 ) → X ) → M ⊢ ∑ y , ∑ x , F ( ( Fin.snocEquiv fun x => X ) ( x , y ) ) = ∑ h' , ∑ c , F ( Fin.snoc h' c ) ] X : Type u_1 inst✝¹ : Fintype X M : Type u_2 inst✝ : AddCommMonoid M k : ℕ F : ( Fin ( k + 1 ) → X ) → M ⊢ ∑ y , ∑ x , F ( ( Fin.snocEquiv fun x => X ) ( x , y ) ) = ∑ h' , ∑ c , F ( Fin.snoc h' c )
rfl All goals completed! 🐙
Full contraction. Iterating the snoc contraction over all four indices:
∑_f δ^{f}_{f} = 4!. Here f ranges over all maps Fin 4 → Fin 4.
lemma sum_generalizedKroneckerDelta_self ( k : ℕ ) :
∑ h : Fin k → Fin 4 , generalizedKroneckerDelta h h
= ∏ j ∈ Finset.range k , ( ( 4 : ℤ ) - j ) := by k : ℕ ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j )
induction k with
| zero => zero ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range 0 , ( 4 - ↑ j )
rw [ Finset.prod_range_zero , zero ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = 1 zero ⊢ generalizedKroneckerDelta default default = 1 Fintype.sum_unique zero ⊢ generalizedKroneckerDelta default default = 1 zero ⊢ generalizedKroneckerDelta default default = 1 ] zero ⊢ generalizedKroneckerDelta default default = 1
exact Matrix.det_fin_zero All goals completed! 🐙
| succ k ih => succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 4 - ↑ j )
rw [ sum_over_snoc succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 4 - ↑ j ) succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 4 - ↑ j ) ] succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 4 - ↑ j )
have hstep : ∀ h' : Fin k → Fin 4 , ∑ c : Fin 4 ,
generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c )
= ( ( 4 : ℤ ) - k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' := by k : ℕ ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 4 - ↑ j )
intro h' k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 4 - ↑ j )
rw [ generalizedKroneckerDelta_sum_snoc h' h' , k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ ( Fintype.card ( Fin 4 ) ) - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 4 - ↑ j ) Fintype.card_fin k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 4 - ↑ j ) ] k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 4 - ↑ j )
push_cast k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 4 - ↑ j )
ring succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 4 - ↑ j ) succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 4 - ↑ j )
rw [ Finset.sum_congr rfl fun h' _ => hstep h' , succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ∑ h' , ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' = ∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 4 - ↑ j ) succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ( 4 - ↑ k ) * ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) = (∏ x ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ x ) ) * ( 4 - ↑ k ) ← Finset.mul_sum , succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ( 4 - ↑ k ) * ∑ i , generalizedKroneckerDelta i i = ∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 4 - ↑ j ) succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ( 4 - ↑ k ) * ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) = (∏ x ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ x ) ) * ( 4 - ↑ k ) ih , succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ( 4 - ↑ k ) * ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) = ∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 4 - ↑ j ) succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ( 4 - ↑ k ) * ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) = (∏ x ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ x ) ) * ( 4 - ↑ k )
Finset.prod_range_succ succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ( 4 - ↑ k ) * ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) = (∏ x ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ x ) ) * ( 4 - ↑ k ) succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ( 4 - ↑ k ) * ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) = (∏ x ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ x ) ) * ( 4 - ↑ k ) ] succ k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta h h = ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc h' c ) ( Fin.snoc h' c ) = ( 4 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta h' h' ⊢ ( 4 - ↑ k ) * ∏ j ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ j ) = (∏ x ∈ Finset.range k , ( 4 - ↑ x ) ) * ( 4 - ↑ k )
ring All goals completed! 🐙
Single contraction. Contracting the last k of k+1 index pairs leaves one free pair
σ, τ, with the factorial factor (4-1)(4-2)….
lemma sum_generalizedKroneckerDelta_cons ( σ τ : Fin 4 ) ( k : ℕ ) :
∑ h : Fin k → Fin 4 ,
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h )
= ( ∏ j ∈ Finset.range k , ( ( 3 : ℤ ) - j ) ) * ( ( kroneckerDelta σ τ : ℕ ) : ℤ ) := by σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ]
induction k with
| zero => zero σ : Fin 4 τ : Fin 4 ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range 0 , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ]
rw [ Finset.prod_range_zero , zero σ : Fin 4 τ : Fin 4 ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = 1 * ↑ δ[ σ , τ ] zero σ : Fin 4 τ : Fin 4 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ default ) ( Fin.cons τ default ) = ↑ δ[ σ , τ ] one_mul , zero σ : Fin 4 τ : Fin 4 ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = ↑ δ[ σ , τ ] zero σ : Fin 4 τ : Fin 4 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ default ) ( Fin.cons τ default ) = ↑ δ[ σ , τ ] Fintype.sum_unique zero σ : Fin 4 τ : Fin 4 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ default ) ( Fin.cons τ default ) = ↑ δ[ σ , τ ] zero σ : Fin 4 τ : Fin 4 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ default ) ( Fin.cons τ default ) = ↑ δ[ σ , τ ] ] zero σ : Fin 4 τ : Fin 4 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ default ) ( Fin.cons τ default ) = ↑ δ[ σ , τ ]
exact Matrix.det_fin_one _ All goals completed! 🐙
| succ k ih => succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ]
rw [ sum_over_snoc succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] ] succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ]
have hstep : ∀ h' : Fin k → Fin 4 , ∑ c : Fin 4 ,
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) )
= ( ( 3 : ℤ ) - k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) := by σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ]
intro h' σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ]
rw [ Finset.sum_congr rfl fun c _ => by σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] h' : Fin k → Fin 4 c : Fin 4 x✝ : c ∈ Finset.univ ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) = ?m.133 c σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ]
rw [ Fin.cons_snoc_eq_snoc_cons , σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] h' : Fin k → Fin 4 c : Fin 4 x✝ : c ∈ Finset.univ ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc ( Fin.cons σ h' ) c ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) = ?m.133 c All goals completed! 🐙 σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] Fin.cons_snoc_eq_snoc_cons σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] h' : Fin k → Fin 4 c : Fin 4 x✝ : c ∈ Finset.univ ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc ( Fin.cons σ h' ) c ) ( Fin.snoc ( Fin.cons τ h' ) c ) = ?m.133 c All goals completed! 🐙 σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] ] All goals completed! 🐙 σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] ,
generalizedKroneckerDelta_sum_snoc ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) , σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ ( Fintype.card ( Fin 4 ) ) - ↑ ( k + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] Fintype.card_fin σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] ] σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ]
push_cast σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( 4 - ( ↑ k + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ]
ring succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ∑ h' , ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ]
rw [ Finset.sum_congr rfl fun h' _ => hstep h' , succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ∑ h' , ( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ( 3 - ↑ k ) * ( (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] ) = (∏ x ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ x ) ) * ( 3 - ↑ k ) * ↑ δ[ σ , τ ] ← Finset.mul_sum , succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ( 3 - ↑ k ) * ∑ i , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ i ) ( Fin.cons τ i ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ( 3 - ↑ k ) * ( (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] ) = (∏ x ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ x ) ) * ( 3 - ↑ k ) * ↑ δ[ σ , τ ] ih , succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ( 3 - ↑ k ) * ( (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] ) = (∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ( 3 - ↑ k ) * ( (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] ) = (∏ x ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ x ) ) * ( 3 - ↑ k ) * ↑ δ[ σ , τ ]
Finset.prod_range_succ succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ( 3 - ↑ k ) * ( (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] ) = (∏ x ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ x ) ) * ( 3 - ↑ k ) * ↑ δ[ σ , τ ] succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ( 3 - ↑ k ) * ( (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] ) = (∏ x ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ x ) ) * ( 3 - ↑ k ) * ↑ δ[ σ , τ ] ] succ σ : Fin 4 τ : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc h' c ) ) =
( 3 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h' ) ( Fin.cons τ h' ) ⊢ ( 3 - ↑ k ) * ( (∏ j ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] ) = (∏ x ∈ Finset.range k , ( 3 - ↑ x ) ) * ( 3 - ↑ k ) * ↑ δ[ σ , τ ]
ring All goals completed! 🐙
Double contraction. Contracting the last k of k+2 index pairs leaves two free pairs,
with value a 2×2 generalized Kronecker delta times the factorial factor.
lemma sum_generalizedKroneckerDelta_cons₂ ( ρ σ τ ω : Fin 4 ) ( k : ℕ ) :
∑ h : Fin k → Fin 4 ,
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) )
= ( ∏ j ∈ Finset.range k , ( ( 2 : ℤ ) - j ) )
* generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] := by ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
induction k with
| zero => zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range 0 , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
rw [ Finset.prod_range_zero , zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
1 * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] one_mul , zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] Fintype.sum_unique zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ] zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
have e1 : ∀ d : Fin 0 → Fin 4 , ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) : Fin 2 → Fin 4 ) = ![ ρ , σ ] := by ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
intro d ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 d : Fin 0 → Fin 4 ⊢ Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ; funext i ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 d : Fin 0 → Fin 4 i : Fin ( 1 + 1 ) ⊢ Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) i = ![ ρ , σ ] i zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ; fin_cases i «0» ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 d : Fin 0 → Fin 4 ⊢ Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) ( (fun i => i ) ⟨ 0 , ⋯ ⟩ ) = ![ ρ , σ ] ( (fun i => i ) ⟨ 0 , ⋯ ⟩ ) «1» ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 d : Fin 0 → Fin 4 ⊢ Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) ( (fun i => i ) ⟨ 1 , ⋯ ⟩ ) = ![ ρ , σ ] ( (fun i => i ) ⟨ 1 , ⋯ ⟩ ) zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] <;> «0» ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 d : Fin 0 → Fin 4 ⊢ Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) ( (fun i => i ) ⟨ 0 , ⋯ ⟩ ) = ![ ρ , σ ] ( (fun i => i ) ⟨ 0 , ⋯ ⟩ ) «1» ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 d : Fin 0 → Fin 4 ⊢ Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) ( (fun i => i ) ⟨ 1 , ⋯ ⟩ ) = ![ ρ , σ ] ( (fun i => i ) ⟨ 1 , ⋯ ⟩ ) zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] rfl zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
have e2 : ∀ d : Fin 0 → Fin 4 , ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω d ) : Fin 2 → Fin 4 ) = ![ τ , ω ] := by ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] e2 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons τ ( Fin.cons ω d ) = ![ τ , ω ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
intro d ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] d : Fin 0 → Fin 4 ⊢ Fin.cons τ ( Fin.cons ω d ) = ![ τ , ω ] zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] e2 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons τ ( Fin.cons ω d ) = ![ τ , ω ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ; funext i ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] d : Fin 0 → Fin 4 i : Fin ( 1 + 1 ) ⊢ Fin.cons τ ( Fin.cons ω d ) i = ![ τ , ω ] i zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] e2 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons τ ( Fin.cons ω d ) = ![ τ , ω ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ; fin_cases i «0» ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] d : Fin 0 → Fin 4 ⊢ Fin.cons τ ( Fin.cons ω d ) ( (fun i => i ) ⟨ 0 , ⋯ ⟩ ) = ![ τ , ω ] ( (fun i => i ) ⟨ 0 , ⋯ ⟩ ) «1» ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] d : Fin 0 → Fin 4 ⊢ Fin.cons τ ( Fin.cons ω d ) ( (fun i => i ) ⟨ 1 , ⋯ ⟩ ) = ![ τ , ω ] ( (fun i => i ) ⟨ 1 , ⋯ ⟩ ) zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] e2 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons τ ( Fin.cons ω d ) = ![ τ , ω ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] <;> «0» ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] d : Fin 0 → Fin 4 ⊢ Fin.cons τ ( Fin.cons ω d ) ( (fun i => i ) ⟨ 0 , ⋯ ⟩ ) = ![ τ , ω ] ( (fun i => i ) ⟨ 0 , ⋯ ⟩ ) «1» ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] d : Fin 0 → Fin 4 ⊢ Fin.cons τ ( Fin.cons ω d ) ( (fun i => i ) ⟨ 1 , ⋯ ⟩ ) = ![ τ , ω ] ( (fun i => i ) ⟨ 1 , ⋯ ⟩ ) zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] e2 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons τ ( Fin.cons ω d ) = ![ τ , ω ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] rfl zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] e2 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons τ ( Fin.cons ω d ) = ![ τ , ω ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] e2 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons τ ( Fin.cons ω d ) = ![ τ , ω ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ default ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) =
generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
rw [ e1 , zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] e2 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons τ ( Fin.cons ω d ) = ![ τ , ω ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω default ) ) = generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] All goals completed! 🐙 e2 zero ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 e1 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons ρ ( Fin.cons σ d ) = ![ ρ , σ ] e2 : ∀ ( d : Fin 0 → Fin 4 ), Fin.cons τ ( Fin.cons ω d ) = ![ τ , ω ] ⊢ generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] = generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] All goals completed! 🐙 ] All goals completed! 🐙
| succ k ih => succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
rw [ sum_over_snoc succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ] succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
have hstep : ∀ h' : Fin k → Fin 4 , ∑ c : Fin 4 ,
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) )
( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) )
= ( ( 2 : ℤ ) - k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) )
( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) := by ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
intro h' ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
rw [ Finset.sum_congr rfl fun c _ => by ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 c : Fin 4 x✝ : c ∈ Finset.univ ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) = ?m.717 c ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
rw [ Fin.cons_snoc_eq_snoc_cons , ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 c : Fin 4 x✝ : c ∈ Finset.univ ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.snoc ( Fin.cons σ h' ) c ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) = ?m.717 c All goals completed! 🐙 ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] Fin.cons_snoc_eq_snoc_cons , ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 c : Fin 4 x✝ : c ∈ Finset.univ ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) c ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) = ?m.717 c All goals completed! 🐙 ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
Fin.cons_snoc_eq_snoc_cons , ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 c : Fin 4 x✝ : c ∈ Finset.univ ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) c ) ( Fin.cons τ ( Fin.snoc ( Fin.cons ω h' ) c ) ) = ?m.717 c All goals completed! 🐙 ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] Fin.cons_snoc_eq_snoc_cons ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 c : Fin 4 x✝ : c ∈ Finset.univ ⊢ generalizedKroneckerDelta ( Fin.snoc ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) c ) ( Fin.snoc ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) c ) = ?m.717 c All goals completed! 🐙 ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ] All goals completed! 🐙 ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ,
generalizedKroneckerDelta_sum_snoc ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) )
( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) , ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ ( Fintype.card ( Fin 4 ) ) - ↑ ( k + 1 + 1 ) ) *
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] Fintype.card_fin ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ] ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( ↑ 4 - ↑ ( k + 1 + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
push_cast ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] h' : Fin k → Fin 4 ⊢ ( 4 - ( ↑ k + 1 + 1 ) ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
ring succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ∑ h' ,
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
rw [ Finset.sum_congr rfl fun h' _ => hstep h' , succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ∑ h' , ( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ( 2 - ↑ k ) * ( (∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ) =
(∏ x ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ x ) ) * ( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ← Finset.mul_sum , succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ( 2 - ↑ k ) * ∑ i , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ i ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω i ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ( 2 - ↑ k ) * ( (∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ) =
(∏ x ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ x ) ) * ( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ih , succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ( 2 - ↑ k ) * ( (∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ) =
(∏ j ∈ Finset.range ( k + 1 ) , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ( 2 - ↑ k ) * ( (∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ) =
(∏ x ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ x ) ) * ( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
Finset.prod_range_succ succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ( 2 - ↑ k ) * ( (∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ) =
(∏ x ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ x ) ) * ( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ( 2 - ↑ k ) * ( (∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ) =
(∏ x ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ x ) ) * ( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ] succ ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 k : ℕ ih : ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
(∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] hstep : ∀ ( h' : Fin k → Fin 4 ),
∑ c , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ ( Fin.snoc h' c ) ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω ( Fin.snoc h' c ) ) ) =
( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h' ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h' ) ) ⊢ ( 2 - ↑ k ) * ( (∏ j ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] ) =
(∏ x ∈ Finset.range k , ( 2 - ↑ x ) ) * ( 2 - ↑ k ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
ring All goals completed! 🐙
Symbol-level full contraction over Fin 4 → Fin 4.
Symbol-level triple contraction, one free pair σ, τ.
lemma sum_generalizedKroneckerDelta_mul_cons ( σ τ : Fin 4 ) :
∑ h : Fin 3 → Fin 4 ,
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) id
* generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons τ h ) id
= 6 * ( ( kroneckerDelta σ τ : ℕ ) : ℤ ) := by σ : Fin 4 τ : Fin 4 ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) id * generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons τ h ) id = 6 * ↑ δ[ σ , τ ]
rw [ Finset.sum_congr rfl fun h _ =>
generalizedKroneckerDelta_mul ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) , σ : Fin 4 τ : Fin 4 ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons σ h ) ( Fin.cons τ h ) = 6 * ↑ δ[ σ , τ ] σ : Fin 4 τ : Fin 4 ⊢ (∏ j ∈ Finset.range 3 , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] = 6 * ↑ δ[ σ , τ ]
sum_generalizedKroneckerDelta_cons σ τ 3 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ⊢ (∏ j ∈ Finset.range 3 , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] = 6 * ↑ δ[ σ , τ ] σ : Fin 4 τ : Fin 4 ⊢ (∏ j ∈ Finset.range 3 , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] = 6 * ↑ δ[ σ , τ ] ] σ : Fin 4 τ : Fin 4 ⊢ (∏ j ∈ Finset.range 3 , ( 3 - ↑ j ) ) * ↑ δ[ σ , τ ] = 6 * ↑ δ[ σ , τ ]
norm_num [ Finset.prod_range_succ ] All goals completed! 🐙
Symbol-level double contraction, two free pairs.
lemma sum_generalizedKroneckerDelta_mul_cons₂ ( ρ σ τ ω : Fin 4 ) :
∑ h : Fin 2 → Fin 4 ,
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) id
* generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) id
= 2 * ( ( ( kroneckerDelta ρ τ : ℕ ) : ℤ ) * ( ( kroneckerDelta σ ω : ℕ ) : ℤ )
- ( ( kroneckerDelta ρ ω : ℕ ) : ℤ ) * ( ( kroneckerDelta σ τ : ℕ ) : ℤ ) ) := by ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 ⊢ ∑ h ,
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) id *
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) id =
2 * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] )
have hdet : generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
= ( ( kroneckerDelta ρ τ : ℕ ) : ℤ ) * ( ( kroneckerDelta σ ω : ℕ ) : ℤ )
- ( ( kroneckerDelta ρ ω : ℕ ) : ℤ ) * ( ( kroneckerDelta σ τ : ℕ ) : ℤ ) := by
rw [ show generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ]
= ( Matrix.of fun i j => ( ( kroneckerDelta ( ![ ρ , σ ] i ) ( ![ τ , ω ] j ) : ℕ ) : ℤ ) ) . det from rfl , ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 ⊢ ( of fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) . det = ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 ⊢ of (fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) 0 0 * of (fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) 1 1 -
of (fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) 0 1 * of (fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) 1 0 =
↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 hdet : generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] = ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ⊢ ∑ h ,
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) id *
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) id =
2 * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] )
Matrix.det_fin_two ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 ⊢ of (fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) 0 0 * of (fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) 1 1 -
of (fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) 0 1 * of (fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) 1 0 =
↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 ⊢ of (fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) 0 0 * of (fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) 1 1 -
of (fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) 0 1 * of (fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) 1 0 =
↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 hdet : generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] = ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ⊢ ∑ h ,
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) id *
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) id =
2 * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ) ] ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 ⊢ of (fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) 0 0 * of (fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) 1 1 -
of (fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) 0 1 * of (fun i j => ↑ δ[ ![ ρ , σ ] i , ![ τ , ω ] j ] ) 1 0 =
↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 hdet : generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] = ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ⊢ ∑ h ,
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) id *
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) id =
2 * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] )
simp ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 hdet : generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] = ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ⊢ ∑ h ,
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) id *
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) id =
2 * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ) ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 hdet : generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] = ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ⊢ ∑ h ,
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) id *
generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) id =
2 * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] )
rw [ Finset.sum_congr rfl fun h _ =>
generalizedKroneckerDelta_mul ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) , ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 hdet : generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] = ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ⊢ ∑ h , generalizedKroneckerDelta ( Fin.cons ρ ( Fin.cons σ h ) ) ( Fin.cons τ ( Fin.cons ω h ) ) =
2 * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ) ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 hdet : generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] = ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ⊢ (∏ j ∈ Finset.range 2 , ( 2 - ↑ j ) ) * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ) = 2 * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] )
sum_generalizedKroneckerDelta_cons₂ ρ σ τ ω 2 , ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 hdet : generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] = ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ⊢ (∏ j ∈ Finset.range 2 , ( 2 - ↑ j ) ) * generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] =
2 * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ) ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 hdet : generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] = ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ⊢ (∏ j ∈ Finset.range 2 , ( 2 - ↑ j ) ) * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ) = 2 * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ) hdet ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 hdet : generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] = ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ⊢ (∏ j ∈ Finset.range 2 , ( 2 - ↑ j ) ) * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ) = 2 * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ) ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 hdet : generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] = ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ⊢ (∏ j ∈ Finset.range 2 , ( 2 - ↑ j ) ) * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ) = 2 * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ) ] ρ : Fin 4 σ : Fin 4 τ : Fin 4 ω : Fin 4 hdet : generalizedKroneckerDelta ![ ρ , σ ] ![ τ , ω ] = ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ⊢ (∏ j ∈ Finset.range 2 , ( 2 - ↑ j ) ) * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] ) = 2 * ( ↑ δ[ ρ , τ ] * ↑ δ[ σ , ω ] - ↑ δ[ ρ , ω ] * ↑ δ[ σ , τ ] )
norm_num [ Finset.prod_range_succ ] All goals completed! 🐙