Imports
Charges allowing terms
i. Overview
To each charge spectrum x : ChargeSpectrum π© we say it
allows the potential term T : PotentialTerm, if one of the charges associated with that
potential term is zero.
What this means, is that there is a choice of charges from the charge spectrum x that
can be assigned to the fields in the potential term T such that the total charge is zero,
and therefore that the term is present in the potential. The presence of
absence of certain terms is of phenomenological importance.
This concept is captured by the proposition AllowsTerm.
In addition to this, for each potential term T, we define a function allowsTermForm
which takes three elements of π©, a, b, and c and returns a charge spectrum
which allows the term T. We will show in allowsTerm_iff_subset_allowsTermForm
that any charge spectrum that allows a term T has a subset which can be expressed as
allowsTermForm a b c T for some a, b, and c.
We also define the propositions AllowsTermQ5 x q5 T and AllowsTermQ10 x q10 T
which correspond to the condition that adding a charge q5 to the Q5 charges of
the charge spectrum x, or adding a charge q10 to the Q10 charges of the
charge spectrum x, leads to a zero charge in the charges of potential term T.
ii. Key results
AllowsTerm : The proposition that a charge spectrum allows a potential term.
allowsTermForm : A function which for each potential term T and three charges
a, b, and c returns a charge spectrum which allows the term T,
and such that any charge spectrum allowing T has a subset of this form.
AllowsTermQ5 : The proposition that adding a charge q5 to the Q5 charges
of a charge spectrum x allows the potential term T due to the addition of that charge.
AllowsTermQ10 : The proposition that adding a charge q10 to the Q10 charges
of a charge spectrum x allows the potential term T due to the addition of that charge.
iii. Table of contents
A. Charge spectrums allowing potential terms
A.1. Decidability of AllowsTerm
A.2. Monotonicity of AllowsTerm
B. Forms of charges which allow potential terms
B.1. allowsTermForm allows the potential term
B.2. Subset relations for allowsTermForm
B.3. Card of allowsTermForm
B.4. If AllowsTerm then subset equal to allowsTermForm a b c T
B.5. AllowsTerm if and only if subset equal to allowsTermForm a b c T
B.6. Cardinality of subset allowing potential term
C. Allowing a potential term by insertion of a Q5 charge
C.1. Decidability of AllowsTermQ5
C.2. AllowsTermQ5 or AllowsTerm from AllowsTerm with inserted of Q5 charge
C.3. AllowsTerm with inserted of Q5 charge from AllowsTermQ5
C.4. AllowsTerm with inserted of Q5 charge iff AllowsTermQ5 or AllowsTerm
D. Allowing a potential term by insertion of a Q10 charge
D.1. Decidability of AllowsTermQ5
D.2. AllowsTermQ10 or AllowsTerm from AllowsTerm with inserted of Q10 charge
D.3. AllowsTerm with inserted of Q10 charge from AllowsTermQ5
D.4. AllowsTerm with inserted of Q10 charge iff AllowsTermQ10 or AllowsTerm
iv. References
There are no known references for the results in this file.
@[ expose ] public section
A. Charge spectrums allowing potential terms
We first define the proposition AllowsTerm, which for a charge spectrum x : ChargeSpectrum π©
and a potential term T : PotentialTerm, is true if the zero charge is in the set of
charges associated with that potential term.
That is, if there is some choice of representations present in the theory which will allow that
potential term via symmetry.
The charges of representations x : Charges allow a potential term T : PotentialTerm
if the zero charge is in the set of charges associated with that potential term.
A.1. Decidability of AllowsTerm
We define the decidability of AllowsTerm through ofPotentialTerm' rather than
ofPotentialTerm due to the speed of the former compared to the latter.
A.2. Monotonicity of AllowsTerm
The proposition AllowsTerm is monotone in its charge spectrum argument.
That is if a charge spectrum y is a subset of a charge spectrum x,
and y allows a potential term T, then x also allows that potential term T.
We now define the function allowsTermForm which for each potential term T
and three charges a, b, and c returns a charge spectrum which allows the term T.
These charges are in a minimal form, in the sense that any charge spectrum allowing T
has a subset of this form.
A element of Charges from three integers a b c : β€ for a given potential term T.
Defined such that allowsTermForm a b c T always allows the potential term T,
and if any over charge x allows T then it is due to a subset of the form
allowsTermForm a b c T.
def allowsTermForm ( a b c : π© ) : ( T : PotentialTerm ) β ChargeSpectrum π©
| .ΞΌ => β¨ some a , some a , β
, β
β©
| .Ξ² => β¨ none , some a , { a } , β
β©
| .Ξ => β¨ none , none , { a , b } , { - a - b } β©
| .W1 => β¨ none , none , { - a - b - c } , { a , b , c } β©
| .W2 => β¨ some ( - a - b - c ) , none , β
, { a , b , c } β©
| .W3 => β¨ none , some ( - a ) , { b , - b - 2 β’ a } , β
β©
| .W4 => β¨ some ( - c - 2 β’ b ) , some ( - b ) , { c } , β
β©
| .K1 => β¨ none , none , { - a } , { b , - a - b } β©
| .K2 => β¨ some a , some b , β
, { - a - b } β©
| .topYukawa => β¨ none , some ( - a ) , β
, { b , - a - b } β©
| .bottomYukawa => β¨ some a , none , { b } , { - a - b } β©
Any charge spectrum of the form allowsTermForm a b c T allows the potential term T.
The charge spectrum allowsTermForm a b c T allows the potential term T.
lemma allowsTermForm_allowsTerm { a b c : π© } { T : PotentialTerm } :
( allowsTermForm a b c T ) . AllowsTerm T := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© T : PotentialTerm β’ ( allowsTermForm a b c T ) . AllowsTerm T
simp [ AllowsTerm , ofPotentialTerm , allowsTermForm ] π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© T : PotentialTerm β’ 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map
(fun F =>
( (match T with
| PotentialTerm.ΞΌ => { qHd := some a , qHu := some a , Q5 := β
, Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ² => { qHd := none , qHu := some a , Q5 := { a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { a , b } , Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.W1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a - b - c } , Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W2 => { qHd := some ( - a - b - c ) , qHu := none , Q5 := β
, Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W3 => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := { b , - b - 2 β’ a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.W4 => { qHd := some ( - c - 2 β’ b ) , qHu := some ( - b ) , Q5 := { c } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.K1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a } , Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.K2 => { qHd := some a , qHu := some b , Q5 := β
, Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.topYukawa => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := β
, Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.bottomYukawa => { qHd := some a , qHu := none , Q5 := { b } , Q10 := { - a - b } } ) . ofFieldLabel
F ) . val )
T . toFieldLabel )
cases T ΞΌ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map
(fun F =>
( (match PotentialTerm.ΞΌ with
| PotentialTerm.ΞΌ => { qHd := some a , qHu := some a , Q5 := β
, Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ² => { qHd := none , qHu := some a , Q5 := { a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { a , b } , Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.W1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a - b - c } , Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W2 => { qHd := some ( - a - b - c ) , qHu := none , Q5 := β
, Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W3 => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := { b , - b - 2 β’ a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.W4 => { qHd := some ( - c - 2 β’ b ) , qHu := some ( - b ) , Q5 := { c } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.K1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a } , Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.K2 => { qHd := some a , qHu := some b , Q5 := β
, Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.topYukawa => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := β
, Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.bottomYukawa => { qHd := some a , qHu := none , Q5 := { b } , Q10 := { - a - b } } ) . ofFieldLabel
F ) . val )
PotentialTerm.ΞΌ . toFieldLabel ) Ξ² π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map
(fun F =>
( (match PotentialTerm.Ξ² with
| PotentialTerm.ΞΌ => { qHd := some a , qHu := some a , Q5 := β
, Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ² => { qHd := none , qHu := some a , Q5 := { a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { a , b } , Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.W1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a - b - c } , Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W2 => { qHd := some ( - a - b - c ) , qHu := none , Q5 := β
, Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W3 => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := { b , - b - 2 β’ a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.W4 => { qHd := some ( - c - 2 β’ b ) , qHu := some ( - b ) , Q5 := { c } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.K1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a } , Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.K2 => { qHd := some a , qHu := some b , Q5 := β
, Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.topYukawa => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := β
, Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.bottomYukawa => { qHd := some a , qHu := none , Q5 := { b } , Q10 := { - a - b } } ) . ofFieldLabel
F ) . val )
PotentialTerm.Ξ² . toFieldLabel ) Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map
(fun F =>
( (match PotentialTerm.Ξ with
| PotentialTerm.ΞΌ => { qHd := some a , qHu := some a , Q5 := β
, Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ² => { qHd := none , qHu := some a , Q5 := { a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { a , b } , Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.W1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a - b - c } , Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W2 => { qHd := some ( - a - b - c ) , qHu := none , Q5 := β
, Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W3 => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := { b , - b - 2 β’ a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.W4 => { qHd := some ( - c - 2 β’ b ) , qHu := some ( - b ) , Q5 := { c } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.K1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a } , Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.K2 => { qHd := some a , qHu := some b , Q5 := β
, Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.topYukawa => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := β
, Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.bottomYukawa => { qHd := some a , qHu := none , Q5 := { b } , Q10 := { - a - b } } ) . ofFieldLabel
F ) . val )
PotentialTerm.Ξ . toFieldLabel ) W1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map
(fun F =>
( (match PotentialTerm.W1 with
| PotentialTerm.ΞΌ => { qHd := some a , qHu := some a , Q5 := β
, Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ² => { qHd := none , qHu := some a , Q5 := { a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { a , b } , Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.W1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a - b - c } , Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W2 => { qHd := some ( - a - b - c ) , qHu := none , Q5 := β
, Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W3 => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := { b , - b - 2 β’ a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.W4 => { qHd := some ( - c - 2 β’ b ) , qHu := some ( - b ) , Q5 := { c } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.K1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a } , Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.K2 => { qHd := some a , qHu := some b , Q5 := β
, Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.topYukawa => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := β
, Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.bottomYukawa => { qHd := some a , qHu := none , Q5 := { b } , Q10 := { - a - b } } ) . ofFieldLabel
F ) . val )
PotentialTerm.W1 . toFieldLabel ) W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map
(fun F =>
( (match PotentialTerm.W2 with
| PotentialTerm.ΞΌ => { qHd := some a , qHu := some a , Q5 := β
, Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ² => { qHd := none , qHu := some a , Q5 := { a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { a , b } , Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.W1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a - b - c } , Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W2 => { qHd := some ( - a - b - c ) , qHu := none , Q5 := β
, Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W3 => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := { b , - b - 2 β’ a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.W4 => { qHd := some ( - c - 2 β’ b ) , qHu := some ( - b ) , Q5 := { c } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.K1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a } , Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.K2 => { qHd := some a , qHu := some b , Q5 := β
, Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.topYukawa => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := β
, Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.bottomYukawa => { qHd := some a , qHu := none , Q5 := { b } , Q10 := { - a - b } } ) . ofFieldLabel
F ) . val )
PotentialTerm.W2 . toFieldLabel ) W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map
(fun F =>
( (match PotentialTerm.W3 with
| PotentialTerm.ΞΌ => { qHd := some a , qHu := some a , Q5 := β
, Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ² => { qHd := none , qHu := some a , Q5 := { a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { a , b } , Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.W1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a - b - c } , Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W2 => { qHd := some ( - a - b - c ) , qHu := none , Q5 := β
, Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W3 => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := { b , - b - 2 β’ a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.W4 => { qHd := some ( - c - 2 β’ b ) , qHu := some ( - b ) , Q5 := { c } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.K1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a } , Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.K2 => { qHd := some a , qHu := some b , Q5 := β
, Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.topYukawa => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := β
, Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.bottomYukawa => { qHd := some a , qHu := none , Q5 := { b } , Q10 := { - a - b } } ) . ofFieldLabel
F ) . val )
PotentialTerm.W3 . toFieldLabel ) W4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map
(fun F =>
( (match PotentialTerm.W4 with
| PotentialTerm.ΞΌ => { qHd := some a , qHu := some a , Q5 := β
, Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ² => { qHd := none , qHu := some a , Q5 := { a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { a , b } , Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.W1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a - b - c } , Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W2 => { qHd := some ( - a - b - c ) , qHu := none , Q5 := β
, Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W3 => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := { b , - b - 2 β’ a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.W4 => { qHd := some ( - c - 2 β’ b ) , qHu := some ( - b ) , Q5 := { c } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.K1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a } , Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.K2 => { qHd := some a , qHu := some b , Q5 := β
, Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.topYukawa => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := β
, Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.bottomYukawa => { qHd := some a , qHu := none , Q5 := { b } , Q10 := { - a - b } } ) . ofFieldLabel
F ) . val )
PotentialTerm.W4 . toFieldLabel ) K1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map
(fun F =>
( (match PotentialTerm.K1 with
| PotentialTerm.ΞΌ => { qHd := some a , qHu := some a , Q5 := β
, Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ² => { qHd := none , qHu := some a , Q5 := { a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { a , b } , Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.W1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a - b - c } , Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W2 => { qHd := some ( - a - b - c ) , qHu := none , Q5 := β
, Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W3 => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := { b , - b - 2 β’ a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.W4 => { qHd := some ( - c - 2 β’ b ) , qHu := some ( - b ) , Q5 := { c } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.K1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a } , Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.K2 => { qHd := some a , qHu := some b , Q5 := β
, Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.topYukawa => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := β
, Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.bottomYukawa => { qHd := some a , qHu := none , Q5 := { b } , Q10 := { - a - b } } ) . ofFieldLabel
F ) . val )
PotentialTerm.K1 . toFieldLabel ) K2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map
(fun F =>
( (match PotentialTerm.K2 with
| PotentialTerm.ΞΌ => { qHd := some a , qHu := some a , Q5 := β
, Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ² => { qHd := none , qHu := some a , Q5 := { a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { a , b } , Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.W1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a - b - c } , Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W2 => { qHd := some ( - a - b - c ) , qHu := none , Q5 := β
, Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W3 => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := { b , - b - 2 β’ a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.W4 => { qHd := some ( - c - 2 β’ b ) , qHu := some ( - b ) , Q5 := { c } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.K1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a } , Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.K2 => { qHd := some a , qHu := some b , Q5 := β
, Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.topYukawa => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := β
, Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.bottomYukawa => { qHd := some a , qHu := none , Q5 := { b } , Q10 := { - a - b } } ) . ofFieldLabel
F ) . val )
PotentialTerm.K2 . toFieldLabel ) topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map
(fun F =>
( (match PotentialTerm.topYukawa with
| PotentialTerm.ΞΌ => { qHd := some a , qHu := some a , Q5 := β
, Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ² => { qHd := none , qHu := some a , Q5 := { a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { a , b } , Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.W1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a - b - c } , Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W2 => { qHd := some ( - a - b - c ) , qHu := none , Q5 := β
, Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W3 => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := { b , - b - 2 β’ a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.W4 => { qHd := some ( - c - 2 β’ b ) , qHu := some ( - b ) , Q5 := { c } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.K1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a } , Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.K2 => { qHd := some a , qHu := some b , Q5 := β
, Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.topYukawa => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := β
, Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.bottomYukawa => { qHd := some a , qHu := none , Q5 := { b } , Q10 := { - a - b } } ) . ofFieldLabel
F ) . val )
PotentialTerm.topYukawa . toFieldLabel ) bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map
(fun F =>
( (match PotentialTerm.bottomYukawa with
| PotentialTerm.ΞΌ => { qHd := some a , qHu := some a , Q5 := β
, Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ² => { qHd := none , qHu := some a , Q5 := { a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.Ξ => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { a , b } , Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.W1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a - b - c } , Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W2 => { qHd := some ( - a - b - c ) , qHu := none , Q5 := β
, Q10 := { a , b , c } }
| PotentialTerm.W3 => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := { b , - b - 2 β’ a } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.W4 => { qHd := some ( - c - 2 β’ b ) , qHu := some ( - b ) , Q5 := { c } , Q10 := β
}
| PotentialTerm.K1 => { qHd := none , qHu := none , Q5 := { - a } , Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.K2 => { qHd := some a , qHu := some b , Q5 := β
, Q10 := { - a - b } }
| PotentialTerm.topYukawa => { qHd := none , qHu := some ( - a ) , Q5 := β
, Q10 := { b , - a - b } }
| PotentialTerm.bottomYukawa => { qHd := some a , qHu := none , Q5 := { b } , Q10 := { - a - b } } ) . ofFieldLabel
F ) . val )
PotentialTerm.bottomYukawa . toFieldLabel )
all_goals
simp [ PotentialTerm.toFieldLabel , ofFieldLabel ] All goals completed! π
case Ξ => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ β a_1 b_1 , ( ( a_1 = a β¨ a_1 = b ) β§ ( b_1 = a β¨ b_1 = b ) ) β§ a_1 + b_1 + ( - a - b ) = 0 exact β¨ a , b , by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ ( ( a = a β¨ a = b ) β§ ( b = a β¨ b = b ) ) β§ a + b + ( - a - b ) = 0 simp All goals completed! π β©
case K1 | topYukawa => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ β a_1 b_1 , ( ( a_1 = b β¨ a_1 = - a - b ) β§ ( b_1 = b β¨ b_1 = - a - b ) ) β§ a_1 + b_1 + a = 0 exact β¨ b , - a - b , by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ ( ( b = b β¨ b = - a - b ) β§ ( - a - b = b β¨ - a - b = - a - b ) ) β§ b + ( - a - b ) + a = 0 simp All goals completed! π β©
case W3 => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ β a_1 b_1 , ( ( a_1 = b β¨ a_1 = - b - 2 β’ a ) β§ ( b_1 = b β¨ b_1 = - b - 2 β’ a ) ) β§ a_1 + b_1 + a + a = 0
refine β¨ b , - b - 2 β’ a , ? _ β© π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ ( ( b = b β¨ b = - b - 2 β’ a ) β§ ( - b - 2 β’ a = b β¨ - b - 2 β’ a = - b - 2 β’ a ) ) β§ b + ( - b - 2 β’ a ) + a + a = 0
simp only [ true_or , or_true , and_self , true_and ] π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ b + ( - b - 2 β’ a ) + a + a = 0
abel All goals completed! π
case W1 | W2 => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ β b_1 a_1 b_2 ,
( ( ( a_1 = a β¨ a_1 = b β¨ a_1 = c ) β§ ( b_2 = a β¨ b_2 = b β¨ b_2 = c ) ) β§ ( b_1 = a β¨ b_1 = b β¨ b_1 = c ) ) β§
a_1 + b_2 + b_1 + ( - a - b - c ) = 0
refine β¨ a , b , c , ? _ β© π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ ( ( ( b = a β¨ b = b β¨ b = c ) β§ ( c = a β¨ c = b β¨ c = c ) ) β§ ( a = a β¨ a = b β¨ a = c ) ) β§ b + c + a + ( - a - b - c ) = 0
simp only [ true_or , or_true , and_self , true_and ] π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ b + c + a + ( - a - b - c ) = 0
abel All goals completed! π
all_goals abel All goals completed! π
For any potential term T except for WΒΉα΅’β±Όββ 10β± 10Κ² 10α΅ 5ΜMΛ‘ or WΒ²α΅’β±Όβ 10β± 10Κ² 10α΅ 5ΜHd,
a charge spectrum allowsTermForm a b c T is a subset of another charge spectrum
allowsTermForm a' b' c' T if they are equal.
The reason this does not work for W1 an W2 is due to the presence of three
charges in the 10d representation.
The cardinality of the charge spectrum allowsTermForm a b c T is always
less than or equal to the degree of the potential term T.
lemma allowsTermForm_card_le_degree { a b c : π© } { T : PotentialTerm } :
( allowsTermForm a b c T ) . card β€ T . degree := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© T : PotentialTerm β’ ( allowsTermForm a b c T ) . card β€ T . degree
cases T ΞΌ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.ΞΌ ) . card β€ PotentialTerm.ΞΌ . degree Ξ² π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.Ξ² ) . card β€ PotentialTerm.Ξ² . degree Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.Ξ ) . card β€ PotentialTerm.Ξ . degree W1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.W1 ) . card β€ PotentialTerm.W1 . degree W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.W2 ) . card β€ PotentialTerm.W2 . degree W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.W3 ) . card β€ PotentialTerm.W3 . degree W4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.W4 ) . card β€ PotentialTerm.W4 . degree K1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.K1 ) . card β€ PotentialTerm.K1 . degree K2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.K2 ) . card β€ PotentialTerm.K2 . degree topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.topYukawa ) . card β€ PotentialTerm.topYukawa . degree bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa ) . card β€ PotentialTerm.bottomYukawa . degree
all_goals
simp [ allowsTermForm , PotentialTerm.toFieldLabel , card , PotentialTerm.degree ] All goals completed! π
case' Ξ => Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ { a , b } . card β€ 2
have h1 : Finset.card { a , b } β€ 2 := Finset.card_le_two Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© h1 : { a , b } . card β€ 2 β’ { a , b } . card β€ 2
omega All goals completed! π
case' W3 => W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ 1 + { b , - b - 2 β’ a } . card β€ 4
have h1 : Finset.card { b , - b - 2 β’ a } β€ 2 := Finset.card_le_two W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© h1 : { b , - b - 2 β’ a } . card β€ 2 β’ 1 + { b , - b - 2 β’ a } . card β€ 4
omega All goals completed! π
case' K1 | topYukawa => topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© β’ 1 + { b , - a - b } . card β€ 3
have h1 : Finset.card { b , - a - b } β€ 2 := Finset.card_le_two topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© h1 : { b , - a - b } . card β€ 2 β’ 1 + { b , - a - b } . card β€ 3
omega All goals completed! π
all_goals
have h1 : Finset.card { a , b , c } β€ 3 := Finset.card_le_three W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© a : π© b : π© c : π© h1 : { a , b , c } . card β€ 3 β’ 1 + { a , b , c } . card β€ 4
omega All goals completed! π
We now show one of the more important properties of allowsTermForm.
Namely that if a charge spectrum x
allows a potential term T, then there exists charges a, b, and c such that
allowsTermForm a b c T β x.
The proof of this result is rather long, relying on case-by-case analysis of each
of the potential terms of interest.
lemma allowsTermForm_subset_allowsTerm_of_allowsTerm { T : PotentialTerm } { x : ChargeSpectrum π© }
( h : x . AllowsTerm T ) :
β a b c , allowsTermForm a b c T β x β§ ( allowsTermForm a b c T ) . AllowsTerm T := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© T : PotentialTerm x : ChargeSpectrum π© h : x . AllowsTerm T β’ β a b c , allowsTermForm a b c T β x β§ ( allowsTermForm a b c T ) . AllowsTerm T
simp [ AllowsTerm , ofPotentialTerm ] at h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© T : PotentialTerm x : ChargeSpectrum π© h : 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map (fun F => ( x . ofFieldLabel F ) . val ) T . toFieldLabel ) β’ β a b c , allowsTermForm a b c T β x β§ ( allowsTermForm a b c T ) . AllowsTerm T
cases T ΞΌ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© h : 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map (fun F => ( x . ofFieldLabel F ) . val ) PotentialTerm.ΞΌ . toFieldLabel ) β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.ΞΌ β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.ΞΌ ) . AllowsTerm PotentialTerm.ΞΌ Ξ² π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© h : 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map (fun F => ( x . ofFieldLabel F ) . val ) PotentialTerm.Ξ² . toFieldLabel ) β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.Ξ² β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.Ξ² ) . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ² Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© h : 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map (fun F => ( x . ofFieldLabel F ) . val ) PotentialTerm.Ξ . toFieldLabel ) β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.Ξ β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.Ξ ) . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ W1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© h : 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map (fun F => ( x . ofFieldLabel F ) . val ) PotentialTerm.W1 . toFieldLabel ) β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.W1 β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.W1 ) . AllowsTerm PotentialTerm.W1 W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© h : 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map (fun F => ( x . ofFieldLabel F ) . val ) PotentialTerm.W2 . toFieldLabel ) β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.W2 β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.W2 ) . AllowsTerm PotentialTerm.W2 W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© h : 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map (fun F => ( x . ofFieldLabel F ) . val ) PotentialTerm.W3 . toFieldLabel ) β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.W3 β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.W3 ) . AllowsTerm PotentialTerm.W3 W4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© h : 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map (fun F => ( x . ofFieldLabel F ) . val ) PotentialTerm.W4 . toFieldLabel ) β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.W4 β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.W4 ) . AllowsTerm PotentialTerm.W4 K1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© h : 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map (fun F => ( x . ofFieldLabel F ) . val ) PotentialTerm.K1 . toFieldLabel ) β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.K1 β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.K1 ) . AllowsTerm PotentialTerm.K1 K2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© h : 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map (fun F => ( x . ofFieldLabel F ) . val ) PotentialTerm.K2 . toFieldLabel ) β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.K2 β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.K2 ) . AllowsTerm PotentialTerm.K2 topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© h : 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map (fun F => ( x . ofFieldLabel F ) . val ) PotentialTerm.topYukawa . toFieldLabel ) β’ β a b c ,
allowsTermForm a b c PotentialTerm.topYukawa β x β§
( allowsTermForm a b c PotentialTerm.topYukawa ) . AllowsTerm PotentialTerm.topYukawa bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© h : 0 β
List.foldl (fun a b => Multiset.map (fun x => x .1 + x .2 ) ( a ΓΛ’ b ) ) { 0 }
( List.map (fun F => ( x . ofFieldLabel F ) . val ) PotentialTerm.bottomYukawa . toFieldLabel ) β’ β a b c ,
allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa β x β§
( allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa ) . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa
all_goals
simp [ PotentialTerm.toFieldLabel , - existsAndEq ] at h bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© h : β a b ,
( (β a_1 b ,
( (β a b , ( a = 0 β§ b β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter ) β§ a + b = a_1 ) β§
b β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter ) β§
a_1 + b = a ) β§
b β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd ) β§
a + b = 0 β’ β a b c ,
allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa β x β§
( allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa ) . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa
obtain β¨ f1 , f2 , β¨ β¨ f3 , f4 , β¨ h3 , f4_mem β© , rfl β© , f2_mem β© , f1_add_f2_eq_zero β© := h bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f3 : π© f4 : π© h3 : β a b , ( a = 0 β§ b β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter ) β§ a + b = f3 f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f1_add_f2_eq_zero : f3 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c ,
allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa β x β§
( allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa ) . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa
case' ΞΌ | Ξ² => Ξ² π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f3 : π© f4 : π© h3 : f3 = 0 f4_mem : - f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f1_add_f2_eq_zero : f3 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.Ξ² β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.Ξ² ) . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ² obtain β¨ rfl β© := h3 Ξ² π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f4 : π© f4_mem : - f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f1_add_f2_eq_zero : 0 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.Ξ² β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.Ξ² ) . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ²
case' Ξ | W1 | W2 | W3 | W4 | K1 | K2 | topYukawa | bottomYukawa => bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f3 : π© f4 : π© h3 : β a b , ( a = 0 β§ b β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter ) β§ a + b = f3 f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f1_add_f2_eq_zero : f3 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c ,
allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa β x β§
( allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa ) . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa
obtain β¨ f5 , f6 , β¨ h4 , f6_mem β© , rfl β© := h3 bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f5 : π© f6 : π© h4 : f5 = 0 f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f1_add_f2_eq_zero : f5 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c ,
allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa β x β§
( allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa ) . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa
case' Ξ | K1 | K2 | topYukawa | bottomYukawa => bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f5 : π© f6 : π© h4 : f5 = 0 f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f1_add_f2_eq_zero : f5 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c ,
allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa β x β§
( allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa ) . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa obtain β¨ rfl β© := h4 bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c ,
allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa β x β§
( allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa ) . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa
case' W1 | W2 | W3 | W4 => W4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : - f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f4 : π© f4_mem : - f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f5 : π© f6 : π© h4 : β a b , ( a = 0 β§ b β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter ) β§ a + b = f5 f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f1_add_f2_eq_zero : f5 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.W4 β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.W4 ) . AllowsTerm PotentialTerm.W4 obtain β¨ f7 , f8 , β¨ rfl , f8_mem β© , rfl β© := h4 W4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : - f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f4 : π© f4_mem : - f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f8 : π© f8_mem : f8 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.W4 β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.W4 ) . AllowsTerm PotentialTerm.W4
case' ΞΌ => ΞΌ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : - f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f1_add_f2_eq_zero : 0 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.ΞΌ β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.ΞΌ ) . AllowsTerm PotentialTerm.ΞΌ use f4 , ( f2 ) , 0 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : - f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f1_add_f2_eq_zero : 0 + f4 + f2 = 0 β’ allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ β x β§ ( allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ ) . AllowsTerm PotentialTerm.ΞΌ
case' Ξ² => Ξ² π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f4 : π© f4_mem : - f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f1_add_f2_eq_zero : 0 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.Ξ² β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.Ξ² ) . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ² use ( - f4 ) , f2 , 0 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f4 : π© f4_mem : - f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f1_add_f2_eq_zero : 0 + f4 + f2 = 0 β’ allowsTermForm ( - f4 ) f2 0 PotentialTerm.Ξ² β x β§ ( allowsTermForm ( - f4 ) f2 0 PotentialTerm.Ξ² ) . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ²
case' Ξ => Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.Ξ β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.Ξ ) . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ use f4 , f6 , f2 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ allowsTermForm f4 f6 f2 PotentialTerm.Ξ β x β§ ( allowsTermForm f4 f6 f2 PotentialTerm.Ξ ) . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ
case' W1 => W1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f8 : π© f8_mem : f8 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.W1 β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.W1 ) . AllowsTerm PotentialTerm.W1 use f4 , f6 , f8 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f8 : π© f8_mem : f8 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ allowsTermForm f4 f6 f8 PotentialTerm.W1 β x β§ ( allowsTermForm f4 f6 f8 PotentialTerm.W1 ) . AllowsTerm PotentialTerm.W1
case' W2 => W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f8 : π© f8_mem : f8 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.W2 β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.W2 ) . AllowsTerm PotentialTerm.W2 use f4 , f6 , f8 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f8 : π© f8_mem : f8 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ allowsTermForm f4 f6 f8 PotentialTerm.W2 β x β§ ( allowsTermForm f4 f6 f8 PotentialTerm.W2 ) . AllowsTerm PotentialTerm.W2
case' W3 => W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : - f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f4 : π© f4_mem : - f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f8 : π© f8_mem : f8 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.W3 β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.W3 ) . AllowsTerm PotentialTerm.W3 use ( f2 ) , f6 , f8 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : - f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f4 : π© f4_mem : - f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f8 : π© f8_mem : f8 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ allowsTermForm f2 f6 f8 PotentialTerm.W3 β x β§ ( allowsTermForm f2 f6 f8 PotentialTerm.W3 ) . AllowsTerm PotentialTerm.W3
case' W4 => W4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : - f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f4 : π© f4_mem : - f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f8 : π© f8_mem : f8 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.W4 β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.W4 ) . AllowsTerm PotentialTerm.W4 use f6 , ( f2 ) , f8 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : - f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f4 : π© f4_mem : - f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f8 : π© f8_mem : f8 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ allowsTermForm f6 f2 f8 PotentialTerm.W4 β x β§ ( allowsTermForm f6 f2 f8 PotentialTerm.W4 ) . AllowsTerm PotentialTerm.W4
case' K1 => K1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : - f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.K1 β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.K1 ) . AllowsTerm PotentialTerm.K1 use f2 , f4 , f6 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : - f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ allowsTermForm f2 f4 f6 PotentialTerm.K1 β x β§ ( allowsTermForm f2 f4 f6 PotentialTerm.K1 ) . AllowsTerm PotentialTerm.K1
case' K2 => K2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f1_add_f2_eq_zero : 0 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c , allowsTermForm a b c PotentialTerm.K2 β x β§ ( allowsTermForm a b c PotentialTerm.K2 ) . AllowsTerm PotentialTerm.K2 use f4 , f6 , f2 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f1_add_f2_eq_zero : 0 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ allowsTermForm f4 f6 f2 PotentialTerm.K2 β x β§ ( allowsTermForm f4 f6 f2 PotentialTerm.K2 ) . AllowsTerm PotentialTerm.K2
case' topYukawa => topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : - f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c ,
allowsTermForm a b c PotentialTerm.topYukawa β x β§
( allowsTermForm a b c PotentialTerm.topYukawa ) . AllowsTerm PotentialTerm.topYukawa use ( f2 ) , f4 , f6 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : - f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ allowsTermForm f2 f4 f6 PotentialTerm.topYukawa β x β§
( allowsTermForm f2 f4 f6 PotentialTerm.topYukawa ) . AllowsTerm PotentialTerm.topYukawa
case' bottomYukawa => bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ β a b c ,
allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa β x β§
( allowsTermForm a b c PotentialTerm.bottomYukawa ) . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa use f2 , f4 , f6 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ allowsTermForm f2 f4 f6 PotentialTerm.bottomYukawa β x β§
( allowsTermForm f2 f4 f6 PotentialTerm.bottomYukawa ) . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa
all_goals
rw [ subset_def bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f6 : π© f6_mem : f6 β x . ofFieldLabel FieldLabel.tenMatter f1_add_f2_eq_zero : 0 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ ( ( allowsTermForm f2 f4 f6 PotentialTerm.bottomYukawa ) . qHd . toFinset β x . qHd . toFinset β§
( allowsTermForm f2 f4 f6 PotentialTerm.bottomYukawa ) . qHu . toFinset β x . qHu . toFinset β§
( allowsTermForm f2 f4 f6 PotentialTerm.bottomYukawa ) . Q5 β x . Q5 β§
( allowsTermForm f2 f4 f6 PotentialTerm.bottomYukawa ) . Q10 β x . Q10 ) β§
( allowsTermForm f2 f4 f6 PotentialTerm.bottomYukawa ) . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa ΞΌ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : - f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f1_add_f2_eq_zero : 0 + f4 + f2 = 0 β’ ( ( allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ ) . qHd . toFinset β x . qHd . toFinset β§
( allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ ) . qHu . toFinset β x . qHu . toFinset β§
( allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ ) . Q5 β x . Q5 β§ ( allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ ) . Q10 β x . Q10 ) β§
( allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ ) . AllowsTerm PotentialTerm.ΞΌ ] Ξ² π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarMatter f4 : π© f4_mem : - f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f1_add_f2_eq_zero : 0 + f4 + f2 = 0 β’ ( ( allowsTermForm ( - f4 ) f2 0 PotentialTerm.Ξ² ) . qHd . toFinset β x . qHd . toFinset β§
( allowsTermForm ( - f4 ) f2 0 PotentialTerm.Ξ² ) . qHu . toFinset β x . qHu . toFinset β§
( allowsTermForm ( - f4 ) f2 0 PotentialTerm.Ξ² ) . Q5 β x . Q5 β§ ( allowsTermForm ( - f4 ) f2 0 PotentialTerm.Ξ² ) . Q10 β x . Q10 ) β§
( allowsTermForm ( - f4 ) f2 0 PotentialTerm.Ξ² ) . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ² ΞΌ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : - f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f1_add_f2_eq_zero : 0 + f4 + f2 = 0 β’ ( ( allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ ) . qHd . toFinset β x . qHd . toFinset β§
( allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ ) . qHu . toFinset β x . qHu . toFinset β§
( allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ ) . Q5 β x . Q5 β§ ( allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ ) . Q10 β x . Q10 ) β§
( allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ ) . AllowsTerm PotentialTerm.ΞΌ ΞΌ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : - f2 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHu f4 : π© f4_mem : f4 β x . ofFieldLabel FieldLabel.fiveBarHd f1_add_f2_eq_zero : 0 + f4 + f2 = 0 β’ ( ( allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ ) . qHd . toFinset β x . qHd . toFinset β§
( allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ ) . qHu . toFinset β x . qHu . toFinset β§
( allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ ) . Q5 β x . Q5 β§ ( allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ ) . Q10 β x . Q10 ) β§
( allowsTermForm f4 f2 0 PotentialTerm.ΞΌ ) . AllowsTerm PotentialTerm.ΞΌ
simp_all [ ofFieldLabel , Finset.insert_subset_iff , allowsTermForm ] ΞΌ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : x . qHd = some f4 f1_add_f2_eq_zero : f4 + f2 = 0 β’ f4 = - f2 β§ { qHd := some f4 , qHu := some f4 , Q5 := β
, Q10 := β
} . AllowsTerm PotentialTerm.ΞΌ
all_goals
simp [ AllowsTerm , ofPotentialTerm , PotentialTerm.toFieldLabel , ofFieldLabel ] ΞΌ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : x . qHd = some f4 f1_add_f2_eq_zero : f4 + f2 = 0 β’ f4 = - f2
case' W1 | W2 => W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ - f4 - f6 - f8 = f2 β§
β b a b_1 ,
( ( ( a = f4 β¨ a = f6 β¨ a = f8 ) β§ ( b_1 = f4 β¨ b_1 = f6 β¨ b_1 = f8 ) ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 β¨ b = f8 ) ) β§
a + b_1 + b + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0
obtain rfl : f2 = - f4 - f6 - f8 := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 = - f4 - f6 - f8 W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f2_mem : x . qHd = some ( - f4 - f6 - f8 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0 β’ - f4 - f6 - f8 = - f4 - f6 - f8 β§
β b a b_1 ,
( ( ( a = f4 β¨ a = f6 β¨ a = f8 ) β§ ( b_1 = f4 β¨ b_1 = f6 β¨ b_1 = f8 ) ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 β¨ b = f8 ) ) β§
a + b_1 + b + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0
rw [ β sub_zero f2 , π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - 0 = - f4 - f6 - f8 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f8 + f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 - f8 W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f2_mem : x . qHd = some ( - f4 - f6 - f8 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0 β’ - f4 - f6 - f8 = - f4 - f6 - f8 β§
β b a b_1 ,
( ( ( a = f4 β¨ a = f6 β¨ a = f8 ) β§ ( b_1 = f4 β¨ b_1 = f6 β¨ b_1 = f8 ) ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 β¨ b = f8 ) ) β§
a + b_1 + b + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0 β f1_add_f2_eq_zero π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f8 + f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 - f8 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f8 + f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 - f8 W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f2_mem : x . qHd = some ( - f4 - f6 - f8 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0 β’ - f4 - f6 - f8 = - f4 - f6 - f8 β§
β b a b_1 ,
( ( ( a = f4 β¨ a = f6 β¨ a = f8 ) β§ ( b_1 = f4 β¨ b_1 = f6 β¨ b_1 = f8 ) ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 β¨ b = f8 ) ) β§
a + b_1 + b + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0 ] π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f8 + f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 - f8 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f8 + f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 - f8 W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f2_mem : x . qHd = some ( - f4 - f6 - f8 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0 β’ - f4 - f6 - f8 = - f4 - f6 - f8 β§
β b a b_1 ,
( ( ( a = f4 β¨ a = f6 β¨ a = f8 ) β§ ( b_1 = f4 β¨ b_1 = f6 β¨ b_1 = f8 ) ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 β¨ b = f8 ) ) β§
a + b_1 + b + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f8 + f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 - f8 W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f2_mem : x . qHd = some ( - f4 - f6 - f8 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0 β’ - f4 - f6 - f8 = - f4 - f6 - f8 β§
β b a b_1 ,
( ( ( a = f4 β¨ a = f6 β¨ a = f8 ) β§ ( b_1 = f4 β¨ b_1 = f6 β¨ b_1 = f8 ) ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 β¨ b = f8 ) ) β§
a + b_1 + b + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0
abel W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f2_mem : x . qHd = some ( - f4 - f6 - f8 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0 β’ - f4 - f6 - f8 = - f4 - f6 - f8 β§
β b a b_1 ,
( ( ( a = f4 β¨ a = f6 β¨ a = f8 ) β§ ( b_1 = f4 β¨ b_1 = f6 β¨ b_1 = f8 ) ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 β¨ b = f8 ) ) β§
a + b_1 + b + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0 W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f2_mem : x . qHd = some ( - f4 - f6 - f8 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0 β’ - f4 - f6 - f8 = - f4 - f6 - f8 β§
β b a b_1 ,
( ( ( a = f4 β¨ a = f6 β¨ a = f8 ) β§ ( b_1 = f4 β¨ b_1 = f6 β¨ b_1 = f8 ) ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 β¨ b = f8 ) ) β§
a + b_1 + b + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0
simp_all W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f2_mem : x . qHd = some ( - f4 - f6 - f8 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0 β’ β b a b_1 ,
( ( ( a = f4 β¨ a = f6 β¨ a = f8 ) β§ ( b_1 = f4 β¨ b_1 = f6 β¨ b_1 = f8 ) ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 β¨ b = f8 ) ) β§
a + b_1 + b + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0
case Ξ² => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : f2 β x . Q5 f4_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f1_add_f2_eq_zero : f4 + f2 = 0 β’ - f4 β x . Q5
obtain rfl : f4 = - f2 := eq_neg_of_add_eq_zero_left f1_add_f2_eq_zero π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f2_mem : f2 β x . Q5 f4_mem : x . qHu = some ( - - f2 ) f1_add_f2_eq_zero : - f2 + f2 = 0 β’ - - f2 β x . Q5
simp_all All goals completed! π
case K2 => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : f2 β x . Q10 f4_mem : x . qHd = some f4 f6_mem : x . qHu = some f6 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ - f4 - f6 β x . Q10 β§ 0 = f6 + f4 + ( - f4 - f6 )
obtain rfl : f2 = - f4 - f6 := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : f2 β x . Q10 f4_mem : x . qHd = some f4 f6_mem : x . qHu = some f6 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 = - f4 - f6 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : x . qHd = some f4 f6_mem : x . qHu = some f6 f2_mem : - f4 - f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - f4 - f6 β x . Q10 β§ 0 = f6 + f4 + ( - f4 - f6 )
rw [ β sub_zero f2 , π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : f2 β x . Q10 f4_mem : x . qHd = some f4 f6_mem : x . qHu = some f6 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - 0 = - f4 - f6 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : f2 β x . Q10 f4_mem : x . qHd = some f4 f6_mem : x . qHu = some f6 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : x . qHd = some f4 f6_mem : x . qHu = some f6 f2_mem : - f4 - f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - f4 - f6 β x . Q10 β§ 0 = f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) β f1_add_f2_eq_zero π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : f2 β x . Q10 f4_mem : x . qHd = some f4 f6_mem : x . qHu = some f6 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : f2 β x . Q10 f4_mem : x . qHd = some f4 f6_mem : x . qHu = some f6 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : x . qHd = some f4 f6_mem : x . qHu = some f6 f2_mem : - f4 - f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - f4 - f6 β x . Q10 β§ 0 = f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) ] π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : f2 β x . Q10 f4_mem : x . qHd = some f4 f6_mem : x . qHu = some f6 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : x . qHd = some f4 f6_mem : x . qHu = some f6 f2_mem : - f4 - f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - f4 - f6 β x . Q10 β§ 0 = f6 + f4 + ( - f4 - f6 )
abel π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : x . qHd = some f4 f6_mem : x . qHu = some f6 f2_mem : - f4 - f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - f4 - f6 β x . Q10 β§ 0 = f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : x . qHd = some f4 f6_mem : x . qHu = some f6 f2_mem : - f4 - f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - f4 - f6 β x . Q10 β§ 0 = f6 + f4 + ( - f4 - f6 )
simp_all All goals completed! π
case' Ξ => Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : f2 β x . Q10 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ - f4 - f6 β x . Q10 β§ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = f6 ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 ) ) β§ a + b + ( - f4 - f6 ) = 0
obtain rfl : f2 = - f4 - f6 := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : f2 β x . Q10 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 = - f4 - f6 Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : - f4 - f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - f4 - f6 β x . Q10 β§ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = f6 ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 ) ) β§ a + b + ( - f4 - f6 ) = 0
rw [ β sub_zero f2 , π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : f2 β x . Q10 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - 0 = - f4 - f6 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : f2 β x . Q10 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : - f4 - f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - f4 - f6 β x . Q10 β§ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = f6 ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 ) ) β§ a + b + ( - f4 - f6 ) = 0 β f1_add_f2_eq_zero π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : f2 β x . Q10 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : f2 β x . Q10 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : - f4 - f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - f4 - f6 β x . Q10 β§ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = f6 ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 ) ) β§ a + b + ( - f4 - f6 ) = 0 ] π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : f2 β x . Q10 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : - f4 - f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - f4 - f6 β x . Q10 β§ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = f6 ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 ) ) β§ a + b + ( - f4 - f6 ) = 0
abel Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : - f4 - f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - f4 - f6 β x . Q10 β§ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = f6 ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 ) ) β§ a + b + ( - f4 - f6 ) = 0 Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : - f4 - f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - f4 - f6 β x . Q10 β§ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = f6 ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 ) ) β§ a + b + ( - f4 - f6 ) = 0
simp_all Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : - f4 - f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = f6 ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 ) ) β§ a + b + ( - f4 - f6 ) = 0
case' W3 => W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 = f2 f6_mem : f6 β x . Q5 f8_mem : f8 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f2 + f2 = 0 β’ - f6 - 2 β’ f2 β x . Q5 β§ β a b , ( ( a = f6 β¨ a = - f6 - 2 β’ f2 ) β§ ( b = f6 β¨ b = - f6 - 2 β’ f2 ) ) β§ a + b + f2 + f2 = 0
subst f4_mem W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f6_mem : f6 β x . Q5 f8_mem : f8 β x . Q5 f2_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + f4 = 0 β’ - f6 - 2 β’ f4 β x . Q5 β§ β a b , ( ( a = f6 β¨ a = - f6 - 2 β’ f4 ) β§ ( b = f6 β¨ b = - f6 - 2 β’ f4 ) ) β§ a + b + f4 + f4 = 0
obtain rfl : f8 = - f6 - 2 β’ f4 := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f6_mem : f6 β x . Q5 f8_mem : f8 β x . Q5 f2_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + f4 = 0 β’ f8 = - f6 - 2 β’ f4 W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f8_mem : - f6 - 2 β’ f4 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : - f6 - 2 β’ f4 + f6 + f4 + f4 = 0 β’ - f6 - 2 β’ f4 β x . Q5 β§ β a b , ( ( a = f6 β¨ a = - f6 - 2 β’ f4 ) β§ ( b = f6 β¨ b = - f6 - 2 β’ f4 ) ) β§ a + b + f4 + f4 = 0
rw [ β sub_zero f8 , π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f6_mem : f6 β x . Q5 f8_mem : f8 β x . Q5 f2_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + f4 = 0 β’ f8 - 0 = - f6 - 2 β’ f4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f6_mem : f6 β x . Q5 f8_mem : f8 β x . Q5 f2_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + f4 = 0 β’ f8 - ( f8 + f6 + f4 + f4 ) = - f6 - 2 β’ f4 W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f8_mem : - f6 - 2 β’ f4 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : - f6 - 2 β’ f4 + f6 + f4 + f4 = 0 β’ - f6 - 2 β’ f4 β x . Q5 β§ β a b , ( ( a = f6 β¨ a = - f6 - 2 β’ f4 ) β§ ( b = f6 β¨ b = - f6 - 2 β’ f4 ) ) β§ a + b + f4 + f4 = 0 β f1_add_f2_eq_zero π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f6_mem : f6 β x . Q5 f8_mem : f8 β x . Q5 f2_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + f4 = 0 β’ f8 - ( f8 + f6 + f4 + f4 ) = - f6 - 2 β’ f4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f6_mem : f6 β x . Q5 f8_mem : f8 β x . Q5 f2_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + f4 = 0 β’ f8 - ( f8 + f6 + f4 + f4 ) = - f6 - 2 β’ f4 W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f8_mem : - f6 - 2 β’ f4 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : - f6 - 2 β’ f4 + f6 + f4 + f4 = 0 β’ - f6 - 2 β’ f4 β x . Q5 β§ β a b , ( ( a = f6 β¨ a = - f6 - 2 β’ f4 ) β§ ( b = f6 β¨ b = - f6 - 2 β’ f4 ) ) β§ a + b + f4 + f4 = 0 ] π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f6_mem : f6 β x . Q5 f8_mem : f8 β x . Q5 f2_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + f4 = 0 β’ f8 - ( f8 + f6 + f4 + f4 ) = - f6 - 2 β’ f4 W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f8_mem : - f6 - 2 β’ f4 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : - f6 - 2 β’ f4 + f6 + f4 + f4 = 0 β’ - f6 - 2 β’ f4 β x . Q5 β§ β a b , ( ( a = f6 β¨ a = - f6 - 2 β’ f4 ) β§ ( b = f6 β¨ b = - f6 - 2 β’ f4 ) ) β§ a + b + f4 + f4 = 0
abel W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f8_mem : - f6 - 2 β’ f4 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : - f6 - 2 β’ f4 + f6 + f4 + f4 = 0 β’ - f6 - 2 β’ f4 β x . Q5 β§ β a b , ( ( a = f6 β¨ a = - f6 - 2 β’ f4 ) β§ ( b = f6 β¨ b = - f6 - 2 β’ f4 ) ) β§ a + b + f4 + f4 = 0 W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f8_mem : - f6 - 2 β’ f4 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : - f6 - 2 β’ f4 + f6 + f4 + f4 = 0 β’ - f6 - 2 β’ f4 β x . Q5 β§ β a b , ( ( a = f6 β¨ a = - f6 - 2 β’ f4 ) β§ ( b = f6 β¨ b = - f6 - 2 β’ f4 ) ) β§ a + b + f4 + f4 = 0
simp_all W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f8_mem : - f6 - 2 β’ f4 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : - f6 - 2 β’ f4 + f6 + f4 + f4 = 0 β’ β a b , ( ( a = f6 β¨ a = - f6 - 2 β’ f4 ) β§ ( b = f6 β¨ b = - f6 - 2 β’ f4 ) ) β§ a + b + f4 + f4 = 0
case' bottomYukawa => bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ - f2 - f4 β x . Q10
obtain rfl : f6 = - f2 - f4 := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f6 = - f2 - f4 bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : - f2 - f4 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : - f2 - f4 + f4 + f2 = 0 β’ - f2 - f4 β x . Q10
rw [ β sub_zero f2 , π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f6 = - ( f2 - 0 ) - f4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f6 = - ( f2 - ( f6 + f4 + f2 ) ) - f4 bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : - f2 - f4 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : - f2 - f4 + f4 + f2 = 0 β’ - f2 - f4 β x . Q10 β f1_add_f2_eq_zero π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f6 = - ( f2 - ( f6 + f4 + f2 ) ) - f4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f6 = - ( f2 - ( f6 + f4 + f2 ) ) - f4 bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : - f2 - f4 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : - f2 - f4 + f4 + f2 = 0 β’ - f2 - f4 β x . Q10 ] π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f6 = - ( f2 - ( f6 + f4 + f2 ) ) - f4 bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : - f2 - f4 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : - f2 - f4 + f4 + f2 = 0 β’ - f2 - f4 β x . Q10
abel bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : - f2 - f4 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : - f2 - f4 + f4 + f2 = 0 β’ - f2 - f4 β x . Q10 bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : x . qHd = some f2 f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : - f2 - f4 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : - f2 - f4 + f4 + f2 = 0 β’ - f2 - f4 β x . Q10
simp_all All goals completed! π
case W3 => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f8_mem : - f6 - 2 β’ f4 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : - f6 - 2 β’ f4 + f6 + f4 + f4 = 0 β’ β a b , ( ( a = f6 β¨ a = - f6 - 2 β’ f4 ) β§ ( b = f6 β¨ b = - f6 - 2 β’ f4 ) ) β§ a + b + f4 + f4 = 0
use ( - f6 - 2 β’ f4 ) , f6 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : x . qHu = some ( - f4 ) f8_mem : - f6 - 2 β’ f4 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : - f6 - 2 β’ f4 + f6 + f4 + f4 = 0 β’ ( ( - f6 - 2 β’ f4 = f6 β¨ - f6 - 2 β’ f4 = - f6 - 2 β’ f4 ) β§ ( f6 = f6 β¨ f6 = - f6 - 2 β’ f4 ) ) β§ - f6 - 2 β’ f4 + f6 + f4 + f4 = 0
simpa using f1_add_f2_eq_zero All goals completed! π
case W1 | W2 => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f2_mem : x . qHd = some ( - f4 - f6 - f8 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0 β’ β b a b_1 ,
( ( ( a = f4 β¨ a = f6 β¨ a = f8 ) β§ ( b_1 = f4 β¨ b_1 = f6 β¨ b_1 = f8 ) ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 β¨ b = f8 ) ) β§
a + b_1 + b + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0
use f4 , f6 , f8 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f2_mem : x . qHd = some ( - f4 - f6 - f8 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0 β’ ( ( ( f6 = f4 β¨ f6 = f6 β¨ f6 = f8 ) β§ ( f8 = f4 β¨ f8 = f6 β¨ f8 = f8 ) ) β§ ( f4 = f4 β¨ f4 = f6 β¨ f4 = f8 ) ) β§
f6 + f8 + f4 + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0
simp only [ true_or , or_true , and_self , true_and ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f8_mem : f8 β x . Q10 f2_mem : x . qHd = some ( - f4 - f6 - f8 ) f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f4 + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0 β’ f6 + f8 + f4 + ( - f4 - f6 - f8 ) = 0
abel All goals completed! π
case K1 => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : - f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ - f2 - f4 β x . Q10 β§ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = - f2 - f4 ) β§ ( b = f4 β¨ b = - f2 - f4 ) ) β§ a + b + f2 = 0
obtain rfl : f6 = - f2 - f4 := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : - f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f6 = - f2 - f4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : - f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : - f2 - f4 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : - f2 - f4 + f4 + f2 = 0 β’ - f2 - f4 β x . Q10 β§ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = - f2 - f4 ) β§ ( b = f4 β¨ b = - f2 - f4 ) ) β§ a + b + f2 = 0
rw [ β sub_zero f2 , π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : - f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f6 = - ( f2 - 0 ) - f4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : - f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f6 = - ( f2 - ( f6 + f4 + f2 ) ) - f4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : - f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : - f2 - f4 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : - f2 - f4 + f4 + f2 = 0 β’ - f2 - f4 β x . Q10 β§ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = - f2 - f4 ) β§ ( b = f4 β¨ b = - f2 - f4 ) ) β§ a + b + f2 = 0 β f1_add_f2_eq_zero π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : - f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f6 = - ( f2 - ( f6 + f4 + f2 ) ) - f4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : - f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f6 = - ( f2 - ( f6 + f4 + f2 ) ) - f4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : - f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : - f2 - f4 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : - f2 - f4 + f4 + f2 = 0 β’ - f2 - f4 β x . Q10 β§ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = - f2 - f4 ) β§ ( b = f4 β¨ b = - f2 - f4 ) ) β§ a + b + f2 = 0 ] π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : - f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f6 = - ( f2 - ( f6 + f4 + f2 ) ) - f4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : - f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : - f2 - f4 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : - f2 - f4 + f4 + f2 = 0 β’ - f2 - f4 β x . Q10 β§ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = - f2 - f4 ) β§ ( b = f4 β¨ b = - f2 - f4 ) ) β§ a + b + f2 = 0
abel π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : - f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : - f2 - f4 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : - f2 - f4 + f4 + f2 = 0 β’ - f2 - f4 β x . Q10 β§ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = - f2 - f4 ) β§ ( b = f4 β¨ b = - f2 - f4 ) ) β§ a + b + f2 = 0 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : - f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : - f2 - f4 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : - f2 - f4 + f4 + f2 = 0 β’ - f2 - f4 β x . Q10 β§ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = - f2 - f4 ) β§ ( b = f4 β¨ b = - f2 - f4 ) ) β§ a + b + f2 = 0
simp_all π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : - f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : - f2 - f4 β x . Q10 β’ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = - f2 - f4 ) β§ ( b = f4 β¨ b = - f2 - f4 ) ) β§ a + b + f2 = 0
use ( - f2 - f4 ) , f4 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : - f2 β x . Q5 f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : - f2 - f4 β x . Q10 β’ ( ( - f2 - f4 = f4 β¨ - f2 - f4 = - f2 - f4 ) β§ ( f4 = f4 β¨ f4 = - f2 - f4 ) ) β§ - f2 - f4 + f4 + f2 = 0
simp All goals completed! π
case' topYukawa => topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ - f2 - f4 β x . Q10 β§ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = - f2 - f4 ) β§ ( b = f4 β¨ b = - f2 - f4 ) ) β§ a + b + f2 = 0
obtain rfl : f2 = - f4 - f6 := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 = - f4 - f6 topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f2_mem : x . qHu = some ( - ( - f4 - f6 ) ) f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - ( - f4 - f6 ) - f4 β x . Q10 β§
β a b , ( ( a = f4 β¨ a = - ( - f4 - f6 ) - f4 ) β§ ( b = f4 β¨ b = - ( - f4 - f6 ) - f4 ) ) β§ a + b + ( - f4 - f6 ) = 0
rw [ β sub_zero f2 , π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - 0 = - f4 - f6 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f2_mem : x . qHu = some ( - ( - f4 - f6 ) ) f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - ( - f4 - f6 ) - f4 β x . Q10 β§
β a b , ( ( a = f4 β¨ a = - ( - f4 - f6 ) - f4 ) β§ ( b = f4 β¨ b = - ( - f4 - f6 ) - f4 ) ) β§ a + b + ( - f4 - f6 ) = 0 β f1_add_f2_eq_zero π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f2_mem : x . qHu = some ( - ( - f4 - f6 ) ) f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - ( - f4 - f6 ) - f4 β x . Q10 β§
β a b , ( ( a = f4 β¨ a = - ( - f4 - f6 ) - f4 ) β§ ( b = f4 β¨ b = - ( - f4 - f6 ) - f4 ) ) β§ a + b + ( - f4 - f6 ) = 0 ] π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + f2 = 0 β’ f2 - ( f6 + f4 + f2 ) = - f4 - f6 topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f2_mem : x . qHu = some ( - ( - f4 - f6 ) ) f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - ( - f4 - f6 ) - f4 β x . Q10 β§
β a b , ( ( a = f4 β¨ a = - ( - f4 - f6 ) - f4 ) β§ ( b = f4 β¨ b = - ( - f4 - f6 ) - f4 ) ) β§ a + b + ( - f4 - f6 ) = 0
abel topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f2_mem : x . qHu = some ( - ( - f4 - f6 ) ) f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - ( - f4 - f6 ) - f4 β x . Q10 β§
β a b , ( ( a = f4 β¨ a = - ( - f4 - f6 ) - f4 ) β§ ( b = f4 β¨ b = - ( - f4 - f6 ) - f4 ) ) β§ a + b + ( - f4 - f6 ) = 0 topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f2_mem : x . qHu = some ( - ( - f4 - f6 ) ) f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ - ( - f4 - f6 ) - f4 β x . Q10 β§
β a b , ( ( a = f4 β¨ a = - ( - f4 - f6 ) - f4 ) β§ ( b = f4 β¨ b = - ( - f4 - f6 ) - f4 ) ) β§ a + b + ( - f4 - f6 ) = 0
simp_all topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q10 f6_mem : f6 β x . Q10 f2_mem : x . qHu = some ( f6 + f4 ) f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = f6 ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 ) ) β§ a + b + ( - f4 - f6 ) = 0
case topYukawa | Ξ => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : - f4 - f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ β a b , ( ( a = f4 β¨ a = f6 ) β§ ( b = f4 β¨ b = f6 ) ) β§ a + b + ( - f4 - f6 ) = 0
use f6 , f4 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : - f4 - f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ ( ( f6 = f4 β¨ f6 = f6 ) β§ ( f4 = f4 β¨ f4 = f6 ) ) β§ f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0
simp only [ or_true , true_or , and_self , true_and ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f4 : π© f6 : π© f4_mem : f4 β x . Q5 f6_mem : f6 β x . Q5 f2_mem : - f4 - f6 β x . Q10 f1_add_f2_eq_zero : f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0 β’ f6 + f4 + ( - f4 - f6 ) = 0
abel All goals completed! π
case W4 => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 = f2 f6_mem : x . qHd = some f6 f8_mem : f8 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f2 + f2 = 0 β’ - f8 - 2 β’ f2 = f6 β§ 0 = f8 + ( - f8 - 2 β’ f2 ) + f2 + f2
apply And.intro left π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 = f2 f6_mem : x . qHd = some f6 f8_mem : f8 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f2 + f2 = 0 β’ - f8 - 2 β’ f2 = f6 right π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 = f2 f6_mem : x . qHd = some f6 f8_mem : f8 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f2 + f2 = 0 β’ 0 = f8 + ( - f8 - 2 β’ f2 ) + f2 + f2
Β· left π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 = f2 f6_mem : x . qHd = some f6 f8_mem : f8 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f2 + f2 = 0 β’ - f8 - 2 β’ f2 = f6 rw [ β sub_zero f8 , left π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 = f2 f6_mem : x . qHd = some f6 f8_mem : f8 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f2 + f2 = 0 β’ - ( f8 - 0 ) - 2 β’ f2 = f6 left π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 = f2 f6_mem : x . qHd = some f6 f8_mem : f8 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f2 + f2 = 0 β’ - ( f8 - ( f8 + f6 + f2 + f2 ) ) - 2 β’ f2 = f6 β f1_add_f2_eq_zero left π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 = f2 f6_mem : x . qHd = some f6 f8_mem : f8 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f2 + f2 = 0 β’ - ( f8 - ( f8 + f6 + f2 + f2 ) ) - 2 β’ f2 = f6 left π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 = f2 f6_mem : x . qHd = some f6 f8_mem : f8 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f2 + f2 = 0 β’ - ( f8 - ( f8 + f6 + f2 + f2 ) ) - 2 β’ f2 = f6 ] left π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 = f2 f6_mem : x . qHd = some f6 f8_mem : f8 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f2 + f2 = 0 β’ - ( f8 - ( f8 + f6 + f2 + f2 ) ) - 2 β’ f2 = f6
abel All goals completed! π
Β· right π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f6 : π© f8 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : f4 = f2 f6_mem : x . qHd = some f6 f8_mem : f8 β x . Q5 f1_add_f2_eq_zero : f8 + f6 + f2 + f2 = 0 β’ 0 = f8 + ( - f8 - 2 β’ f2 ) + f2 + f2 abel All goals completed! π
case ΞΌ => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : x . qHd = some f4 f1_add_f2_eq_zero : f4 + f2 = 0 β’ f4 = - f2
rw [ β sub_zero f2 , π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : x . qHd = some f4 f1_add_f2_eq_zero : f4 + f2 = 0 β’ f4 = - ( f2 - 0 ) π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : x . qHd = some f4 f1_add_f2_eq_zero : f4 + f2 = 0 β’ f4 = - ( f2 - ( f4 + f2 ) ) β f1_add_f2_eq_zero π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : x . qHd = some f4 f1_add_f2_eq_zero : f4 + f2 = 0 β’ f4 = - ( f2 - ( f4 + f2 ) ) π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : x . qHd = some f4 f1_add_f2_eq_zero : f4 + f2 = 0 β’ f4 = - ( f2 - ( f4 + f2 ) ) ] π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© f2 : π© f4 : π© f2_mem : x . qHu = some ( - f2 ) f4_mem : x . qHd = some f4 f1_add_f2_eq_zero : f4 + f2 = 0 β’ f4 = - ( f2 - ( f4 + f2 ) )
abel All goals completed! π
We now lift the previous result to show that a charge spectrum x
allows a potential term T if and only if there exists charges a, b, and c such that
allowsTermForm a b c T β x.
Given what has already been shown, this result is now trivial.
lemma allowsTerm_iff_subset_allowsTermForm { T : PotentialTerm } { x : ChargeSpectrum π© } :
x . AllowsTerm T β β a b c , allowsTermForm a b c T β x := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© T : PotentialTerm x : ChargeSpectrum π© β’ x . AllowsTerm T β β a b c , allowsTermForm a b c T β x
refine β¨ fun h => ? _ , fun β¨ a , b , c , h1 β© => allowsTerm_mono h1 allowsTermForm_allowsTerm β© π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© T : PotentialTerm x : ChargeSpectrum π© h : x . AllowsTerm T β’ β a b c , allowsTermForm a b c T β x
obtain β¨ a , b , c , h1 , - β© := allowsTermForm_subset_allowsTerm_of_allowsTerm h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© T : PotentialTerm x : ChargeSpectrum π© h : x . AllowsTerm T a : π© b : π© c : π© h1 : allowsTermForm a b c T β x β’ β a b c , allowsTermForm a b c T β x
exact β¨ a , b , c , h1 β© All goals completed! π
B.6. Cardinality of subset allowing potential term
We show that if a charge spectrum x allows a potential term T,
then there exists a subset of x which allows T and whose cardinality is less than or equal
to the degree of T.
This follows from the fact that allowsTermForm a b c T always has cardinality
less than or equal to the degree of T.
lemma subset_card_le_degree_allowsTerm_of_allowsTerm { T : PotentialTerm } { x : ChargeSpectrum π© }
( h : x . AllowsTerm T ) : β y β x . powerset , y . card β€ T . degree β§ y . AllowsTerm T := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© T : PotentialTerm x : ChargeSpectrum π© h : x . AllowsTerm T β’ β y β x . powerset , y . card β€ T . degree β§ y . AllowsTerm T
obtain β¨ a , b , c , h1 , h2 β© := allowsTermForm_subset_allowsTerm_of_allowsTerm h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© T : PotentialTerm x : ChargeSpectrum π© h : x . AllowsTerm T a : π© b : π© c : π© h1 : allowsTermForm a b c T β x h2 : ( allowsTermForm a b c T ) . AllowsTerm T β’ β y β x . powerset , y . card β€ T . degree β§ y . AllowsTerm T
exact β¨ _ , mem_powerset_iff_subset . mpr h1 , allowsTermForm_card_le_degree , h2 β© All goals completed! π
C. Allowing a potential term by insertion of a Q5 charge
We now study what happens when we add a charge q5 to the Q5 charges of a charge spectrum x.
We define the proposition AllowsTermQ5 x q5 T which is true if adding the charge q5
to the Q5 charges of x allows the potential term T due to the addition of that charge.
We prove a number of properties of this proposition, including its relation
to AllowsTerm and its decidability.
The proposition for which says, given a charge x adding a charge q5 permits the
existence of a potential term T due to the addition of that charge.
def AllowsTermQ5 ( x : ChargeSpectrum π© ) ( q5 : π© ) ( T : PotentialTerm ) : Prop :=
match T with
| .ΞΌ => false
| .Ξ² =>
match x with
| β¨ _ , some qHu , _ , _ β© => q5 = qHu
| _ => false
| .Ξ => ( 0 : π© ) β ( ( insert q5 x . Q5 ) . product x . Q10 ) . val . map ( fun ( q1 , q2 ) => ( q1 + q5 + q2 ) )
| .W4 =>
match x with
| β¨ some qHd , some qHu , _ , _ β© => q5 + qHd - qHu - qHu = 0
| _ => false
| .K1 => ( 0 : π© ) β ( x . Q10 . product x . Q10 ) . val . map ( fun ( y , z ) => - q5 + y + z )
| .W1 => ( 0 : π© ) β ( x . Q10 . product ( x . Q10 . product x . Q10 ) ) . val . map
( fun ( q1 , q2 , q3 ) => q5 + q1 + q2 + q3 )
| .W2 => false
| .bottomYukawa =>
match x with
| β¨ none , _ , _ , _ β© => false
| β¨ some qHd , _ , _ , _ β© => ( 0 : π© ) β x . Q10 . val . map ( fun y => y + q5 + qHd )
| .topYukawa => false
| .K2 => false
| .W3 =>
match x with
| β¨ _ , some qHu , _ , _ β© =>
( 0 : π© ) β ( insert q5 x . Q5 ) . val . map ( fun y => y + q5 - qHu - qHu )
| _ => false
C.1. Decidability of AllowsTermQ5
We show that if the type π© has decidable equality, then the proposition
AllowsTermQ5 x q5 T is decidable for any charge spectrum x, charge q5, and
potential term T.
instance ( x : ChargeSpectrum π© ) ( q5 : π© ) ( T : PotentialTerm ) :
Decidable ( AllowsTermQ5 x q5 T ) :=
match T with
| .ΞΌ => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q5 : π© T : PotentialTerm h : x . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.ΞΌ β’ False simp [ AllowsTermQ5 ] at h All goals completed! π
| .Ξ² =>
match x with
| β¨ _ , some qHu , _ , _ β© => decidable_of_iff ( q5 = qHu ) ( by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q5 : π© T : PotentialTerm qHdβ : Option π© qHu : π© Q5β : Finset π© Q10β : Finset π© β’ q5 = qHu β { qHd := qHdβ , qHu := some qHu , Q5 := Q5β , Q10 := Q10β } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.Ξ² simp [ AllowsTermQ5 ] All goals completed! π )
| β¨ _ , none , _ , _ β© => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q5 : π© T : PotentialTerm qHdβ : Option π© Q5β : Finset π© Q10β : Finset π© h : { qHd := qHdβ , qHu := none , Q5 := Q5β , Q10 := Q10β } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.Ξ² β’ False simp [ AllowsTermQ5 ] at h All goals completed! π
| .Ξ =>
decidable_of_iff ( ( 0 : π© ) β ( ( insert q5 x . Q5 ) . product x . Q10 ) . val . map
( fun ( q1 , q2 ) => ( q1 + q5 + q2 ) ) ) ( by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q5 : π© T : PotentialTerm β’ 0 β
Multiset.map
(fun x =>
match x with
| ( q1 , q2 ) => q1 + q5 + q2 )
( ( insert q5 x . Q5 ) . product x . Q10 ) . val β
x . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.Ξ simp [ AllowsTermQ5 ] All goals completed! π )
| .W4 =>
match x with
| β¨ some qHd , some qHu , _ , _ β© => decidable_of_iff ( q5 + qHd - qHu - qHu = 0 )
( by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q5 : π© T : PotentialTerm qHd : π© qHu : π© Q5β : Finset π© Q10β : Finset π© β’ q5 + qHd - qHu - qHu = 0 β { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5β , Q10 := Q10β } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.W4 simp [ AllowsTermQ5 ] All goals completed! π )
| β¨ some qHd , none , _ , _ β© => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q5 : π© T : PotentialTerm qHd : π© Q5β : Finset π© Q10β : Finset π© h : { qHd := some qHd , qHu := none , Q5 := Q5β , Q10 := Q10β } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.W4 β’ False simp [ AllowsTermQ5 ] at h All goals completed! π
| β¨ none , _ , _ , _ β© => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q5 : π© T : PotentialTerm qHuβ : Option π© Q5β : Finset π© Q10β : Finset π© h : { qHd := none , qHu := qHuβ , Q5 := Q5β , Q10 := Q10β } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.W4 β’ False simp [ AllowsTermQ5 ] at h All goals completed! π
| .K1 =>
decidable_of_iff ( ( 0 : π© ) β ( x . Q10 . product x . Q10 ) . val . map ( fun ( y , z ) => - q5 + y + z ) )
( by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q5 : π© T : PotentialTerm β’ 0 β
Multiset.map
(fun x =>
match x with
| ( y , z ) => - q5 + y + z )
( x . Q10 . product x . Q10 ) . val β
x . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.K1 simp [ AllowsTermQ5 ] All goals completed! π )
| .W1 =>
decidable_of_iff ( ( 0 : π© ) β ( x . Q10 . product ( x . Q10 . product x . Q10 ) ) . val . map
( fun ( q1 , q2 , q3 ) => q5 + q1 + q2 + q3 ) ) ( by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q5 : π© T : PotentialTerm β’ 0 β
Multiset.map
(fun x =>
match x with
| ( q1 , q2 , q3 ) => q5 + q1 + q2 + q3 )
( x . Q10 . product ( x . Q10 . product x . Q10 ) ) . val β
x . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.W1 rfl All goals completed! π )
| .W2 => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q5 : π© T : PotentialTerm h : x . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.W2 β’ False simp [ AllowsTermQ5 ] at h All goals completed! π
| .bottomYukawa =>
match x with
| β¨ none , _ , _ , _ β© => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q5 : π© T : PotentialTerm qHuβ : Option π© Q5β : Finset π© Q10β : Finset π© h : { qHd := none , qHu := qHuβ , Q5 := Q5β , Q10 := Q10β } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.bottomYukawa β’ False simp [ AllowsTermQ5 ] at h All goals completed! π
| β¨ some qHd , _ , _ , Q10 β© => decidable_of_iff ( ( 0 : π© ) β Q10 . val . map ( fun y => y + q5 + qHd ) )
( by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q5 : π© T : PotentialTerm qHd : π© qHuβ : Option π© Q5β : Finset π© Q10 : Finset π© β’ 0 β Multiset.map (fun y => y + q5 + qHd ) Q10 . val β
{ qHd := some qHd , qHu := qHuβ , Q5 := Q5β , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.bottomYukawa simp [ AllowsTermQ5 ] All goals completed! π )
| .topYukawa => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q5 : π© T : PotentialTerm h : x . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.topYukawa β’ False simp [ AllowsTermQ5 ] at h All goals completed! π
| .K2 => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q5 : π© T : PotentialTerm h : x . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.K2 β’ False simp [ AllowsTermQ5 ] at h All goals completed! π
| .W3 =>
match x with
| β¨ _ , some qHu , Q5 , _ β© => decidable_of_iff
( ( 0 : π© ) β ( insert q5 Q5 ) . val . map ( fun y => y + q5 - qHu - qHu ) )
( by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q5 : π© T : PotentialTerm qHdβ : Option π© qHu : π© Q5 : Finset π© Q10β : Finset π© β’ 0 β Multiset.map (fun y => y + q5 - qHu - qHu ) ( insert q5 Q5 ) . val β
{ qHd := qHdβ , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10β } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.W3 simp [ AllowsTermQ5 ] All goals completed! π )
| β¨ _ , none , _ , _ β© => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q5 : π© T : PotentialTerm qHdβ : Option π© Q5β : Finset π© Q10β : Finset π© h : { qHd := qHdβ , qHu := none , Q5 := Q5β , Q10 := Q10β } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.W3 β’ False simp [ AllowsTermQ5 ] at h All goals completed! π
C.2. AllowsTermQ5 or AllowsTerm from AllowsTerm with inserted of Q5 charge
We show that if a charge spectrum x with an inserted charge q5
allows a potential term T, then either the charge spectrum x
allows that potential term T due to the addition of that charge,
or the charge spectrum x already allows that potential term T.
lemma allowsTermQ5_or_allowsTerm_of_allowsTerm_insertQ5 { qHd qHu : Option π© }
{ Q5 Q10 : Finset π© } { q5 : π© } ( T : PotentialTerm )
( h : AllowsTerm β¨ qHd , qHu , insert q5 Q5 , Q10 β© T ) :
AllowsTermQ5 β¨ qHd , qHu , Q5 , Q10 β© q5 T β¨
AllowsTerm β¨ qHd , qHu , Q5 , Q10 β© T := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© T : PotentialTerm h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 T β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T
rcases T ΞΌ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.ΞΌ β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.ΞΌ β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.ΞΌ Ξ² π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ² β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.Ξ² β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ² Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.Ξ β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ W1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W1 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.W1 β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W1 W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W2 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.W2 β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W2 W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W3 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.W3 β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W3 W4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W4 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.W4 β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W4 K1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.K1 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.K1 β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.K1 K2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.K2 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.K2 β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.K2 topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.topYukawa β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.topYukawa β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.topYukawa bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.bottomYukawa β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa
all_goals
simp [ allowsTerm_iff_zero_mem_ofPotentialTerm' , ofPotentialTerm' , AllowsTermQ5 ] at h β’ bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : 0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val ) β’ (match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => β a β Q10 , a + q5 + qHd = 0 ) β¨
0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val )
Β· ΞΌ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : 0 β
match qHd , qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => { qHd - qHu } β’ 0 β
match qHd , qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => { qHd - qHu } exact h All goals completed! π
Β· Ξ² π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : 0 β
match qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) β’ (match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => q5 = qHu
| x => False ) β¨
0 β
match qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x ) Q5 . val match qHu with
| some qHu => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : 0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => q5 = qHu
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x ) Q5 . val
simp at h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , - qHu + a = 0 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => q5 = qHu
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x ) Q5 . val
simp only [ Multiset.mem_map , Finset.mem_val ] π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , - qHu + a = 0 β’ q5 = qHu β¨ β a β Q5 , - qHu + a = 0
convert h using 1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , - qHu + a = 0 β’ q5 = qHu β - qHu + q5 = 0
rw [ neg_add_eq_zero , π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , - qHu + a = 0 β’ q5 = qHu β qHu = q5 All goals completed! π eq_comm π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , - qHu + a = 0 β’ qHu = q5 β qHu = q5 All goals completed! π ] All goals completed! π
| none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : 0 β
match none with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) β’ (match { qHd := qHd , qHu := none , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => q5 = qHu
| x => False ) β¨
0 β
match none with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x ) Q5 . val simp at h All goals completed! π
Β· Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : β a a_1 b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ ( a_1 = q5 β¨ a_1 β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0 β’ (β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ a + q5 + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0 obtain β¨ a1 , a2 , a3 , β¨ h1 , h2 , h3 β© , hsum β© := h Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 = q5 β¨ a1 β Q5 h2 : a2 = q5 β¨ a2 β Q5 h3 : a3 β Q10 β’ (β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ a + q5 + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0
rcases h1 with h1 | h1 Ξ.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 = q5 β¨ a2 β Q5 h3 : a3 β Q10 h1 : a1 = q5 β’ (β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ a + q5 + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0 Ξ.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 = q5 β¨ a2 β Q5 h3 : a3 β Q10 h1 : a1 β Q5 β’ (β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ a + q5 + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0
Β· Ξ.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 = q5 β¨ a2 β Q5 h3 : a3 β Q10 h1 : a1 = q5 β’ (β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ a + q5 + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0 subst h1 Ξ.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h3 : a3 β Q10 h2 : a2 = a1 β¨ a2 β Q5 β’ (β a b , ( ( a = a1 β¨ a β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ a + a1 + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0
refine .inl β¨ a2 , a3 , β¨ h2 , h3 β© , ? _ β© Ξ.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h3 : a3 β Q10 h2 : a2 = a1 β¨ a2 β Q5 β’ a2 + a1 + a3 = 0
rw [ β hsum Ξ.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h3 : a3 β Q10 h2 : a2 = a1 β¨ a2 β Q5 β’ a2 + a1 + a3 = a1 + a2 + a3 Ξ.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h3 : a3 β Q10 h2 : a2 = a1 β¨ a2 β Q5 β’ a2 + a1 + a3 = a1 + a2 + a3 ] Ξ.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h3 : a3 β Q10 h2 : a2 = a1 β¨ a2 β Q5 β’ a2 + a1 + a3 = a1 + a2 + a3
abel All goals completed! π
Β· Ξ.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 = q5 β¨ a2 β Q5 h3 : a3 β Q10 h1 : a1 β Q5 β’ (β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ a + q5 + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0 rcases h2 with h2 | h2 Ξ.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h3 : a3 β Q10 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q5 β’ (β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ a + q5 + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0 Ξ.inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h3 : a3 β Q10 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 β’ (β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ a + q5 + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0
Β· Ξ.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h3 : a3 β Q10 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q5 β’ (β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ a + q5 + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0 subst h2 Ξ.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h3 : a3 β Q10 h1 : a1 β Q5 β’ (β a b , ( ( a = a2 β¨ a β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ a + a2 + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0
exact .inl β¨ a1 , a3 , β¨ .inr h1 , h3 β© , hsum β© All goals completed! π
Β· Ξ.inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h3 : a3 β Q10 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 β’ (β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ a + q5 + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0 exact .inr β¨ a1 , a2 , a3 , β¨ h1 , h2 , h3 β© , hsum β© All goals completed! π
Β· W1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : β a a_1 a_2 b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0 β’ (β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ q5 + a + a_1 + b = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0 obtain β¨ a1 , a2 , a3 , a4 , β¨ h1 , h2 , h3 , h4 β© , hsum β© := h W1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 = q5 β¨ a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h4 : a4 β Q10 β’ (β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ q5 + a + a_1 + b = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0
rcases h1 with h1 | h1 W1.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h4 : a4 β Q10 h1 : a1 = q5 β’ (β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ q5 + a + a_1 + b = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0 W1.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h4 : a4 β Q10 h1 : a1 β Q5 β’ (β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ q5 + a + a_1 + b = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0
Β· W1.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h4 : a4 β Q10 h1 : a1 = q5 β’ (β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ q5 + a + a_1 + b = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0 left W1.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h4 : a4 β Q10 h1 : a1 = q5 β’ β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ q5 + a + a_1 + b = 0
use a2 , a3 , a4 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h4 : a4 β Q10 h1 : a1 = q5 β’ ( a2 β Q10 β§ a3 β Q10 β§ a4 β Q10 ) β§ q5 + a2 + a3 + a4 = 0
simp_all All goals completed! π
Β· W1.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h4 : a4 β Q10 h1 : a1 β Q5 β’ (β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ q5 + a + a_1 + b = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0 right W1.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h4 : a4 β Q10 h1 : a1 β Q5 β’ β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0
use a1 , a2 , a3 , a4 All goals completed! π
Β· W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : 0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 .1 + x .2 .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ) β’ 0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 .1 + x .2 .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ) simp_all All goals completed! π
Β· W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : 0 β
match qHu with
| none => 0
| some qHu =>
Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) β’ (match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } =>
q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val ) match qHu with
| some qHu => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : 0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu =>
Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } =>
q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val )
simp at h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ ( b = q5 β¨ b β Q5 ) ) β§ - qHu - qHu + a + b = 0 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } =>
q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val )
obtain β¨ a1 , a2 , β¨ h1 , h2 β© , hsum β© := h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 = q5 β¨ a1 β Q5 h2 : a2 = q5 β¨ a2 β Q5 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } =>
q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val )
rcases h1 with h1 | h1 inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 = q5 β¨ a2 β Q5 h1 : a1 = q5 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } =>
q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val ) inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 = q5 β¨ a2 β Q5 h1 : a1 β Q5 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } =>
q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val )
Β· inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 = q5 β¨ a2 β Q5 h1 : a1 = q5 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } =>
q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val ) subst h1 inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 = a1 β¨ a2 β Q5 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } =>
a1 + a1 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + a1 - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val )
left inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 = a1 β¨ a2 β Q5 β’ match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => a1 + a1 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + a1 - qHu - qHu = 0
| x => False
rcases h2 with h2 | h2 inl.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 = a1 β’ match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => a1 + a1 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + a1 - qHu - qHu = 0
| x => False inl.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q5 β’ match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => a1 + a1 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + a1 - qHu - qHu = 0
| x => False
Β· inl.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 = a1 β’ match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => a1 + a1 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + a1 - qHu - qHu = 0
| x => False left inl.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 = a1 β’ a1 + a1 - qHu - qHu = 0
subst h2 inl.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a2 + a2 = 0 β’ a2 + a2 - qHu - qHu = 0
rw [ β hsum inl.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a2 + a2 = 0 β’ a2 + a2 - qHu - qHu = - qHu - qHu + a2 + a2 inl.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a2 + a2 = 0 β’ a2 + a2 - qHu - qHu = - qHu - qHu + a2 + a2 ] inl.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a2 + a2 = 0 β’ a2 + a2 - qHu - qHu = - qHu - qHu + a2 + a2
abel All goals completed! π
Β· inl.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q5 β’ match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => a1 + a1 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + a1 - qHu - qHu = 0
| x => False right inl.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q5 β’ β a β Q5 , a + a1 - qHu - qHu = 0
use a2 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q5 β’ a2 β Q5 β§ a2 + a1 - qHu - qHu = 0
simp_all h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q5 β’ a2 + a1 - qHu - qHu = 0
rw [ β hsum h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q5 β’ a2 + a1 - qHu - qHu = - qHu - qHu + a1 + a2 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q5 β’ a2 + a1 - qHu - qHu = - qHu - qHu + a1 + a2 ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q5 β’ a2 + a1 - qHu - qHu = - qHu - qHu + a1 + a2
abel All goals completed! π
Β· inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 = q5 β¨ a2 β Q5 h1 : a1 β Q5 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } =>
q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val ) rcases h2 with h2 | h2 inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q5 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } =>
q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val ) inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } =>
q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val )
Β· inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q5 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } =>
q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val ) left inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q5 β’ match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False
right inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q5 β’ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
use a1 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q5 β’ a1 β Q5 β§ a1 + q5 - qHu - qHu = 0
simp_all h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + q5 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q5 β’ a1 + q5 - qHu - qHu = 0
rw [ β hsum h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + q5 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q5 β’ a1 + q5 - qHu - qHu = - qHu - qHu + a1 + q5 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + q5 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q5 β’ a1 + q5 - qHu - qHu = - qHu - qHu + a1 + q5 ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + q5 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q5 β’ a1 + q5 - qHu - qHu = - qHu - qHu + a1 + q5
abel All goals completed! π
Β· inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } =>
q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val ) right inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 β’ 0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val )
rw [ @ Multiset.mem_map inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 β’ β a β Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val , - qHu - qHu + a .1 + a .2 = 0 inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 β’ β a β Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val , - qHu - qHu + a .1 + a .2 = 0 ] inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 β’ β a β Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val , - qHu - qHu + a .1 + a .2 = 0
simp only [ Multiset.mem_product , Finset.mem_val , Prod.exists ] inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 β’ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q5 ) β§ - qHu - qHu + a + b = 0
use a1 , a2 All goals completed! π
| none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : 0 β
match none with
| none => 0
| some qHu =>
Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) β’ (match { qHd := qHd , qHu := none , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } =>
q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match none with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val ) simp at h All goals completed! π
Β· W4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : 0 β
match qHd , qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) β’ (match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => q5 + qHd - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match qHd , qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) Q5 . val match qHd , qHu with
| some qHd , some qHu => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© h : 0 β
match some qHd , some qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) β’ (match { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => q5 + qHd - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHd , some qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) Q5 . val
simp_all π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© h : qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , qHd - qHu - qHu + a = 0 β’ q5 + qHd - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , qHd - qHu - qHu + a = 0
convert h using 1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© h : qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , qHd - qHu - qHu + a = 0 β’ q5 + qHd - qHu - qHu = 0 β qHd - qHu - qHu + q5 = 0
constructor mp π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© h : qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , qHd - qHu - qHu + a = 0 β’ q5 + qHd - qHu - qHu = 0 β qHd - qHu - qHu + q5 = 0 mpr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© h : qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , qHd - qHu - qHu + a = 0 β’ qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β q5 + qHd - qHu - qHu = 0
all_goals
Β· mpr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© h : qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , qHd - qHu - qHu + a = 0 β’ qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β q5 + qHd - qHu - qHu = 0 intro h mpr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© hβ : qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , qHd - qHu - qHu + a = 0 h : qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β’ q5 + qHd - qHu - qHu = 0
rw [ β h mp π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© hβ : qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , qHd - qHu - qHu + a = 0 h : q5 + qHd - qHu - qHu = 0 β’ qHd - qHu - qHu + q5 = q5 + qHd - qHu - qHu mpr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© hβ : qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , qHd - qHu - qHu + a = 0 h : qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β’ q5 + qHd - qHu - qHu = qHd - qHu - qHu + q5 ] mp π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© hβ : qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , qHd - qHu - qHu + a = 0 h : q5 + qHd - qHu - qHu = 0 β’ qHd - qHu - qHu + q5 = q5 + qHd - qHu - qHu mpr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© hβ : qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , qHd - qHu - qHu + a = 0 h : qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β’ q5 + qHd - qHu - qHu = qHd - qHu - qHu + q5 mpr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© hβ : qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , qHd - qHu - qHu + a = 0 h : qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β’ q5 + qHd - qHu - qHu = qHd - qHu - qHu + q5
abel All goals completed! π
| none , _ => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© xβ : Option π© h : 0 β
match none , xβ with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) β’ (match { qHd := none , qHu := xβ , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => q5 + qHd - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match none , xβ with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) Q5 . val simp at h All goals completed! π
| some x , none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© x : π© h : 0 β
match some x , none with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) β’ (match { qHd := some x , qHu := none , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => q5 + qHd - qHu - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some x , none with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) Q5 . val simp at h All goals completed! π
Β· K1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : β a a_1 b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0 β’ (β a b , ( a β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - q5 + a + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0 obtain β¨ a1 , a2 , a3 , β¨ h1 , h2 , h3 β© , hsum β© := h K1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 = q5 β¨ a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 β’ (β a b , ( a β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - q5 + a + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0
rcases h1 with h1 | h1 K1.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h1 : a1 = q5 β’ (β a b , ( a β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - q5 + a + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0 K1.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h1 : a1 β Q5 β’ (β a b , ( a β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - q5 + a + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0
Β· K1.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h1 : a1 = q5 β’ (β a b , ( a β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - q5 + a + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0 left K1.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h1 : a1 = q5 β’ β a b , ( a β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - q5 + a + b = 0
use a2 , a3 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h1 : a1 = q5 β’ ( a2 β Q10 β§ a3 β Q10 ) β§ - q5 + a2 + a3 = 0
simp_all All goals completed! π
Β· K1.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h1 : a1 β Q5 β’ (β a b , ( a β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - q5 + a + b = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0 right K1.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h1 : a1 β Q5 β’ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0
use a1 , a2 , a3 All goals completed! π
Β· K2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : 0 β
match qHd , qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd + qHu + x ) Q10 . val β’ 0 β
match qHd , qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd + qHu + x ) Q10 . val simp_all All goals completed! π
Β· topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : 0 β
match qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ) β’ 0 β
match qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ) simp_all All goals completed! π
Β· bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : 0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val ) β’ (match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => β a β Q10 , a + q5 + qHd = 0 ) β¨
0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val ) match qHd with
| none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : 0 β
match none with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val ) β’ (match { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => β a β Q10 , a + q5 + qHd = 0 ) β¨
0 β
match none with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val ) simp at h All goals completed! π
| some qHd => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© h : 0 β
match some qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val ) β’ (match { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => β a β Q10 , a + q5 + qHd = 0 ) β¨
0 β
match some qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val )
simp_all π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© h : β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0 β’ (β a β Q10 , a + q5 + qHd = 0 ) β¨ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0
obtain β¨ a1 , a2 , β¨ h1 , h2 β© , hsum β© := h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h1 : a1 = q5 β¨ a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 β’ (β a β Q10 , a + q5 + qHd = 0 ) β¨ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0
rcases h1 with h1 | h1 inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 h1 : a1 = q5 β’ (β a β Q10 , a + q5 + qHd = 0 ) β¨ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0 inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 h1 : a1 β Q5 β’ (β a β Q10 , a + q5 + qHd = 0 ) β¨ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0
Β· inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 h1 : a1 = q5 β’ (β a β Q10 , a + q5 + qHd = 0 ) β¨ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0 subst h1 inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 β’ (β a β Q10 , a + a1 + qHd = 0 ) β¨ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0
left inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 β’ β a β Q10 , a + a1 + qHd = 0
use a2 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 β’ a2 β Q10 β§ a2 + a1 + qHd = 0
simp_all h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 β’ a2 + a1 + qHd = 0
rw [ β hsum h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 β’ a2 + a1 + qHd = qHd + a1 + a2 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 β’ a2 + a1 + qHd = qHd + a1 + a2 ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 β’ a2 + a1 + qHd = qHd + a1 + a2
abel All goals completed! π
Β· inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 h1 : a1 β Q5 β’ (β a β Q10 , a + q5 + qHd = 0 ) β¨ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0 right inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 h1 : a1 β Q5 β’ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0
use a1 , a2 All goals completed! π
C.3. AllowsTerm with inserted of Q5 charge from AllowsTermQ5
We show that if a charge spectrum x allows a potential term T
due to the addition of a charge q5, then the charge spectrum x with that charge inserted
allows that potential term T.
lemma allowsTerm_insertQ5_of_allowsTermQ5 { qHd qHu : Option π© }
{ Q5 Q10 : Finset π© } { q5 : π© } ( T : PotentialTerm )
( h : AllowsTermQ5 β¨ qHd , qHu , Q5 , Q10 β© q5 T ) :
AllowsTerm β¨ qHd , qHu , insert q5 Q5 , Q10 β© T := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© T : PotentialTerm h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 T β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T
rcases T ΞΌ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.ΞΌ β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.ΞΌ Ξ² π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.Ξ² β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ² Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.Ξ β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ W1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.W1 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W1 W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.W2 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W2 W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.W3 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W3 W4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.W4 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W4 K1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.K1 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.K1 K2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.K2 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.K2 topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.topYukawa β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.topYukawa bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 PotentialTerm.bottomYukawa β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa
all_goals
simp [ AllowsTermQ5 ] at h bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => β a β Q10 , a + q5 + qHd = 0 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa
all_goals
simp [ allowsTerm_iff_zero_mem_ofPotentialTerm' , ofPotentialTerm' ] bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => β a β Q10 , a + q5 + qHd = 0 β’ 0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val )
Β· Ξ² π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => q5 = qHu
| x => False β’ 0 β
match qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) match qHu with
| some qHu => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => q5 = qHu
| x => False β’ 0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val )
simp at h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : q5 = qHu β’ 0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val )
subst h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© β’ 0 β
match some q5 with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val )
simp All goals completed! π
| none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : match { qHd := qHd , qHu := none , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => q5 = qHu
| x => False β’ 0 β
match none with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) simp at h All goals completed! π
Β· Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ a + q5 + b = 0 β’ β a a_1 b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ ( a_1 = q5 β¨ a_1 β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0 obtain β¨ q1 , q2 , β¨ h1 , h2 β© , hsum β© := h Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© q1 : π© q2 : π© hsum : q1 + q5 + q2 = 0 h1 : q1 = q5 β¨ q1 β Q5 h2 : q2 β Q10 β’ β a a_1 b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ ( a_1 = q5 β¨ a_1 β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0
use q1 , q5 , q2 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© q1 : π© q2 : π© hsum : q1 + q5 + q2 = 0 h1 : q1 = q5 β¨ q1 β Q5 h2 : q2 β Q10 β’ ( ( q1 = q5 β¨ q1 β Q5 ) β§ ( q5 = q5 β¨ q5 β Q5 ) β§ q2 β Q10 ) β§ q1 + q5 + q2 = 0
simp_all All goals completed! π
Β· W1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ q5 + a + a_1 + b = 0 β’ β a a_1 a_2 b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0 obtain β¨ q1 , q2 , q3 , h3 , hsum β© := h W1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© q1 : π© q2 : π© q3 : π© h3 : q1 β Q10 β§ q2 β Q10 β§ q3 β Q10 hsum : q5 + q1 + q2 + q3 = 0 β’ β a a_1 a_2 b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0
use q5 , q1 , q2 , q3 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© q1 : π© q2 : π© q3 : π© h3 : q1 β Q10 β§ q2 β Q10 β§ q3 β Q10 hsum : q5 + q1 + q2 + q3 = 0 β’ ( ( q5 = q5 β¨ q5 β Q5 ) β§ q1 β Q10 β§ q2 β Q10 β§ q3 β Q10 ) β§ q5 + q1 + q2 + q3 = 0
simp_all All goals completed! π
Β· W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False β’ 0 β
match qHu with
| none => 0
| some qHu =>
Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) match qHu with
| some qHu => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False β’ 0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu =>
Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q5 Q5 . val )
simp at h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0 β’ 0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu =>
Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q5 Q5 . val )
simp only [ Multiset.mem_map , Multiset.mem_product , Multiset.mem_ndinsert , Finset.mem_val ,
Prod.exists ] π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0 β’ β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ ( b = q5 β¨ b β Q5 ) ) β§ - qHu - qHu + a + b = 0
by_cases h' : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 pos π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0 h' : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β’ β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ ( b = q5 β¨ b β Q5 ) ) β§ - qHu - qHu + a + b = 0 neg π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0 h' : Β¬ q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β’ β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ ( b = q5 β¨ b β Q5 ) ) β§ - qHu - qHu + a + b = 0
Β· pos π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0 h' : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β’ β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ ( b = q5 β¨ b β Q5 ) ) β§ - qHu - qHu + a + b = 0 use q5 , q5 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0 h' : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β’ ( ( q5 = q5 β¨ q5 β Q5 ) β§ ( q5 = q5 β¨ q5 β Q5 ) ) β§ - qHu - qHu + q5 + q5 = 0
simp only [ true_or , and_self , true_and ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0 h' : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β’ - qHu - qHu + q5 + q5 = 0
rw [ β h' h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0 h' : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β’ - qHu - qHu + q5 + q5 = q5 + q5 - qHu - qHu h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0 h' : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β’ - qHu - qHu + q5 + q5 = q5 + q5 - qHu - qHu ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0 h' : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β’ - qHu - qHu + q5 + q5 = q5 + q5 - qHu - qHu
abel All goals completed! π
Β· neg π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0 h' : Β¬ q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β’ β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ ( b = q5 β¨ b β Q5 ) ) β§ - qHu - qHu + a + b = 0 simp_all neg π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h : β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0 h' : Β¬ q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β’ β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ ( b = q5 β¨ b β Q5 ) ) β§ - qHu - qHu + a + b = 0
obtain β¨ q1 , hsum β© := h neg π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h' : Β¬ q5 + q5 - qHu - qHu = 0 q1 : π© hsum : q1 β Q5 β§ q1 + q5 - qHu - qHu = 0 β’ β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ ( b = q5 β¨ b β Q5 ) ) β§ - qHu - qHu + a + b = 0
use q1 , q5 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h' : Β¬ q5 + q5 - qHu - qHu = 0 q1 : π© hsum : q1 β Q5 β§ q1 + q5 - qHu - qHu = 0 β’ ( ( q1 = q5 β¨ q1 β Q5 ) β§ ( q5 = q5 β¨ q5 β Q5 ) ) β§ - qHu - qHu + q1 + q5 = 0
simp_all h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h' : Β¬ q5 + q5 - qHu - qHu = 0 q1 : π© hsum : q1 β Q5 β§ q1 + q5 - qHu - qHu = 0 β’ - qHu - qHu + q1 + q5 = 0
rw [ β hsum . 2 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h' : Β¬ q5 + q5 - qHu - qHu = 0 q1 : π© hsum : q1 β Q5 β§ q1 + q5 - qHu - qHu = 0 β’ - qHu - qHu + q1 + q5 = q1 + q5 - qHu - qHu h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h' : Β¬ q5 + q5 - qHu - qHu = 0 q1 : π© hsum : q1 β Q5 β§ q1 + q5 - qHu - qHu = 0 β’ - qHu - qHu + q1 + q5 = q1 + q5 - qHu - qHu ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHu : π© h' : Β¬ q5 + q5 - qHu - qHu = 0 q1 : π© hsum : q1 β Q5 β§ q1 + q5 - qHu - qHu = 0 β’ - qHu - qHu + q1 + q5 = q1 + q5 - qHu - qHu
abel All goals completed! π
| none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : match { qHd := qHd , qHu := none , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => q5 + q5 - qHu - qHu = 0 β¨ β a β Q5 , a + q5 - qHu - qHu = 0
| x => False β’ 0 β
match none with
| none => 0
| some qHu =>
Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) simp at h All goals completed! π
Β· W4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => q5 + qHd - qHu - qHu = 0
| x => False β’ 0 β
match qHd , qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) match qHd , qHu with
| some qHd , some qHu => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© h : match { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => q5 + qHd - qHu - qHu = 0
| x => False β’ 0 β
match some qHd , some qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val )
simp_all π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© h : q5 + qHd - qHu - qHu = 0 β’ qHd - qHu - qHu + q5 = 0 β¨ β a β Q5 , qHd - qHu - qHu + a = 0
left π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© h : q5 + qHd - qHu - qHu = 0 β’ qHd - qHu - qHu + q5 = 0
rw [ β h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© h : q5 + qHd - qHu - qHu = 0 β’ qHd - qHu - qHu + q5 = q5 + qHd - qHu - qHu π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© h : q5 + qHd - qHu - qHu = 0 β’ qHd - qHu - qHu + q5 = q5 + qHd - qHu - qHu ] π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© qHu : π© h : q5 + qHd - qHu - qHu = 0 β’ qHd - qHu - qHu + q5 = q5 + qHd - qHu - qHu
abel All goals completed! π
| none , _ => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© xβ : Option π© h : match { qHd := none , qHu := xβ , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => q5 + qHd - qHu - qHu = 0
| x => False β’ 0 β
match none , xβ with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) simp at h All goals completed! π
| some x , none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© x : π© h : match { qHd := some x , qHu := none , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => q5 + qHd - qHu - qHu = 0
| x => False β’ 0 β
match some x , none with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ) simp at h All goals completed! π
Β· K1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : β a b , ( a β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - q5 + a + b = 0 β’ β a a_1 b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0 obtain β¨ q1 , q2 , β¨ h1 , h2 β© , hsum β© := h K1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© q1 : π© q2 : π© hsum : - q5 + q1 + q2 = 0 h1 : q1 β Q10 h2 : q2 β Q10 β’ β a a_1 b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0
use q5 , q1 , q2 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© q1 : π© q2 : π© hsum : - q5 + q1 + q2 = 0 h1 : q1 β Q10 h2 : q2 β Q10 β’ ( ( q5 = q5 β¨ q5 β Q5 ) β§ q1 β Q10 β§ q2 β Q10 ) β§ - q5 + q1 + q2 = 0
simp_all All goals completed! π
Β· bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => β a β Q10 , a + q5 + qHd = 0 β’ 0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val ) match qHd with
| none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© h : match { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => β a β Q10 , a + q5 + qHd = 0 β’ 0 β
match none with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val ) simp at h All goals completed! π
| some qHd => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© h : match { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => β a β Q10 , a + q5 + qHd = 0 β’ 0 β
match some qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val )
simp at h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© h : β a β Q10 , a + q5 + qHd = 0 β’ 0 β
match some qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val )
obtain β¨ q1 , h1 , hsum β© := h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© q1 : π© h1 : q1 β Q10 hsum : q1 + q5 + qHd = 0 β’ 0 β
match some qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q5 Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val )
simp only [ Multiset.mem_map , Multiset.mem_product , Multiset.mem_ndinsert , Finset.mem_val ,
Prod.exists ] π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© q1 : π© h1 : q1 β Q10 hsum : q1 + q5 + qHd = 0 β’ β a b , ( ( a = q5 β¨ a β Q5 ) β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0
use q5 , q1 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© q1 : π© h1 : q1 β Q10 hsum : q1 + q5 + qHd = 0 β’ ( ( q5 = q5 β¨ q5 β Q5 ) β§ q1 β Q10 ) β§ qHd + q5 + q1 = 0
simp_all h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© q1 : π© h1 : q1 β Q10 hsum : q1 + q5 + qHd = 0 β’ qHd + q5 + q1 = 0
rw [ β hsum h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© q1 : π© h1 : q1 β Q10 hsum : q1 + q5 + qHd = 0 β’ qHd + q5 + q1 = q1 + q5 + qHd h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© q1 : π© h1 : q1 β Q10 hsum : q1 + q5 + qHd = 0 β’ qHd + q5 + q1 = q1 + q5 + qHd ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© qHd : π© q1 : π© h1 : q1 β Q10 hsum : q1 + q5 + qHd = 0 β’ qHd + q5 + q1 = q1 + q5 + qHd
abel All goals completed! π
C.4. AllowsTerm with inserted of Q5 charge iff AllowsTermQ5 or AllowsTerm
We show that the charge spectrum x with that charge inserted
allows that potential term T if and only if either the charge spectrum x
allows that potential term T due to the addition of that charge,
or the charge spectrum x already allows that potential term T.
lemma allowsTerm_insertQ5_iff_allowsTermQ5 { qHd qHu : Option π© }
{ Q5 Q10 : Finset π© } { q5 : π© } ( T : PotentialTerm ) :
AllowsTerm β¨ qHd , qHu , insert q5 Q5 , Q10 β© T β
AllowsTermQ5 β¨ qHd , qHu , Q5 , Q10 β© q5 T β¨
AllowsTerm β¨ qHd , qHu , Q5 , Q10 β© T := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© T : PotentialTerm β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T β
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 T β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T
refine β¨ allowsTermQ5_or_allowsTerm_of_allowsTerm_insertQ5 T , ? _ β© π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© T : PotentialTerm β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 T β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T β
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T
rintro ( h | h ) inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© T : PotentialTerm h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 T β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© T : PotentialTerm h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T
Β· inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© T : PotentialTerm h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ5 q5 T β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T exact allowsTerm_insertQ5_of_allowsTermQ5 T h All goals completed! π
Β· inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© T : PotentialTerm h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T exact allowsTerm_mono ( by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q5 : π© T : PotentialTerm h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } β { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := insert q5 Q5 , Q10 := Q10 } simp [ subset_def ] All goals completed! π ) h
D. Allowing a potential term by insertion of a Q10 charge
We now replicate the previous section, but for the insertion of a Q10 charge, rather
than a Q5 charge.
We study what happens when we add a charge q10 to the Q10 charges of a charge spectrum x.
We define the proposition AllowsTermQ10 x q10 T which is true if adding the charge q10
to the Q10 charges of x allows the potential term T due to the addition of that charge.
We prove a number of properties of this proposition, including its relation
to AllowsTerm and its decidability.
The proposition for which says, given a charge x adding a charge q5 permits the
existence of a potential term T due to the addition of that charge.
def AllowsTermQ10 ( x : ChargeSpectrum π© ) ( q10 : π© ) ( T : PotentialTerm ) : Prop :=
match T with
| .ΞΌ => false
| .Ξ² => false
| .Ξ => ( 0 : π© ) β ( x . Q5 . product x . Q5 ) . val . map ( fun ( y , z ) => y + z + q10 )
| .W4 => false
| .K1 => ( 0 : π© ) β ( x . Q5 . product ( insert q10 x . Q10 ) ) . val . map ( fun ( q5 , q2 ) => - q5 + q2 + q10 )
| .W1 => ( 0 : π© ) β ( x . Q5 . product ( ( insert q10 x . Q10 ) . product ( insert q10 x . Q10 ) ) ) . val . map
( fun ( q5 , q2 , q3 ) => q5 + q2 + q3 + q10 )
| .W2 =>
match x with
| β¨ some qHd , _ , _ , _ β© => ( 0 : π© ) β
( ( ( insert q10 x . Q10 ) . product ( insert q10 x . Q10 ) ) ) . val . map
( fun ( q2 , q3 ) => qHd + q2 + q3 + q10 )
| _ => false
| .bottomYukawa =>
match x with
| β¨ none , _ , _ , _ β© => false
| β¨ some qHd , _ , _ , _ β© => ( 0 : π© ) β x . Q5 . val . map ( fun y => q10 + y + qHd )
| .topYukawa =>
match x with
| β¨ _ , some qHu , _ , _ β© => ( 0 : π© ) β ( insert q10 x . Q10 ) . val . map ( fun y => q10 + y - qHu )
| _ => false
| .K2 =>
match x with
| β¨ some qHd , some qHu , _ , _ β© => qHd + qHu + q10 = 0
| _ => false
| .W3 => false
D.1. Decidability of AllowsTermQ5
We show that if the type π© has decidable equality, then the proposition
AllowsTermQ10 x q10 T is decidable for any charge spectrum x, charge q10, and
potential term T.
instance ( x : ChargeSpectrum π© ) ( q10 : π© ) ( T : PotentialTerm ) :
Decidable ( AllowsTermQ10 x q10 T ) :=
match T with
| .ΞΌ => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q10 : π© T : PotentialTerm h : x . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.ΞΌ β’ False simp [ AllowsTermQ10 ] at h All goals completed! π
| .Ξ² => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q10 : π© T : PotentialTerm h : x . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.Ξ² β’ False simp [ AllowsTermQ10 ] at h All goals completed! π
| .Ξ =>
decidable_of_iff ( ( 0 : π© ) β ( x . Q5 . product x . Q5 ) . val . map ( fun ( y , z ) => y + z + q10 ) )
( by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q10 : π© T : PotentialTerm β’ 0 β
Multiset.map
(fun x =>
match x with
| ( y , z ) => y + z + q10 )
( x . Q5 . product x . Q5 ) . val β
x . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.Ξ simp [ AllowsTermQ10 ] All goals completed! π )
| .W4 => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q10 : π© T : PotentialTerm h : x . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.W4 β’ False simp [ AllowsTermQ10 ] at h All goals completed! π
| .K1 =>
decidable_of_iff ( ( 0 : π© ) β
( x . Q5 . product ( insert q10 x . Q10 ) ) . val . map ( fun ( q5 , q2 ) => - q5 + q2 + q10 ) )
( by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q10 : π© T : PotentialTerm β’ 0 β
Multiset.map
(fun x =>
match x with
| ( q5 , q2 ) => - q5 + q2 + q10 )
( x . Q5 . product ( insert q10 x . Q10 ) ) . val β
x . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.K1 simp [ AllowsTermQ10 ] All goals completed! π )
| .W1 =>
decidable_of_iff ( ( 0 : π© ) β
( x . Q5 . product ( ( insert q10 x . Q10 ) . product ( insert q10 x . Q10 ) ) ) . val . map
( fun ( q5 , q2 , q3 ) => q5 + q2 + q3 + q10 ) ) ( by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q10 : π© T : PotentialTerm β’ 0 β
Multiset.map
(fun x =>
match x with
| ( q5 , q2 , q3 ) => q5 + q2 + q3 + q10 )
( x . Q5 . product ( ( insert q10 x . Q10 ) . product ( insert q10 x . Q10 ) ) ) . val β
x . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.W1 rfl All goals completed! π )
| .W2 =>
match x with
| β¨ some qHd , _ , _ , Q10 β© => decidable_of_iff ( ( 0 : π© ) β
( ( ( insert q10 Q10 ) . product ( insert q10 Q10 ) ) ) . val . map
( fun ( q2 , q3 ) => qHd + q2 + q3 + q10 ) ) ( by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q10 : π© T : PotentialTerm qHd : π© qHuβ : Option π© Q5β : Finset π© Q10 : Finset π© β’ 0 β
Multiset.map
(fun x =>
match x with
| ( q2 , q3 ) => qHd + q2 + q3 + q10 )
( ( insert q10 Q10 ) . product ( insert q10 Q10 ) ) . val β
{ qHd := some qHd , qHu := qHuβ , Q5 := Q5β , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.W2 simp [ AllowsTermQ10 ] All goals completed! π )
| β¨ none , _ , _ , _ β© => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q10 : π© T : PotentialTerm qHuβ : Option π© Q5β : Finset π© Q10β : Finset π© h : { qHd := none , qHu := qHuβ , Q5 := Q5β , Q10 := Q10β } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.W2 β’ False simp [ AllowsTermQ10 ] at h All goals completed! π
| .bottomYukawa =>
match x with
| β¨ none , _ , _ , _ β© => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q10 : π© T : PotentialTerm qHuβ : Option π© Q5β : Finset π© Q10β : Finset π© h : { qHd := none , qHu := qHuβ , Q5 := Q5β , Q10 := Q10β } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.bottomYukawa β’ False simp [ AllowsTermQ10 ] at h All goals completed! π
| β¨ some qHd , _ , Q5 , _ β© => decidable_of_iff ( ( 0 : π© ) β Q5 . val . map ( fun y => q10 + y + qHd ) )
( by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q10 : π© T : PotentialTerm qHd : π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10β : Finset π© β’ 0 β Multiset.map (fun y => q10 + y + qHd ) Q5 . val β
{ qHd := some qHd , qHu := qHuβ , Q5 := Q5 , Q10 := Q10β } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.bottomYukawa simp [ AllowsTermQ10 ] All goals completed! π )
| .topYukawa =>
match x with
| β¨ _ , some qHu , _ , Q10 β© => decidable_of_iff
( ( 0 : π© ) β ( insert q10 Q10 ) . val . map ( fun y => q10 + y - qHu ) )
( by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q10 : π© T : PotentialTerm qHdβ : Option π© qHu : π© Q5β : Finset π© Q10 : Finset π© β’ 0 β Multiset.map (fun y => q10 + y - qHu ) ( insert q10 Q10 ) . val β
{ qHd := qHdβ , qHu := some qHu , Q5 := Q5β , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.topYukawa simp [ AllowsTermQ10 ] All goals completed! π )
| β¨ _ , none , _ , _ β© => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q10 : π© T : PotentialTerm qHdβ : Option π© Q5β : Finset π© Q10β : Finset π© h : { qHd := qHdβ , qHu := none , Q5 := Q5β , Q10 := Q10β } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.topYukawa β’ False simp [ AllowsTermQ10 ] at h All goals completed! π
| .K2 =>
match x with
| β¨ some qHd , some qHu , _ , _ β© => decidable_of_iff ( qHd + qHu + q10 = 0 ) ( by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q10 : π© T : PotentialTerm qHd : π© qHu : π© Q5β : Finset π© Q10β : Finset π© β’ qHd + qHu + q10 = 0 β { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5β , Q10 := Q10β } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.K2 simp [ AllowsTermQ10 ] All goals completed! π )
| β¨ some qHd , none , _ , _ β© => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q10 : π© T : PotentialTerm qHd : π© Q5β : Finset π© Q10β : Finset π© h : { qHd := some qHd , qHu := none , Q5 := Q5β , Q10 := Q10β } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.K2 β’ False simp [ AllowsTermQ10 ] at h All goals completed! π
| β¨ none , _ , _ , _ β© => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q10 : π© T : PotentialTerm qHuβ : Option π© Q5β : Finset π© Q10β : Finset π© h : { qHd := none , qHu := qHuβ , Q5 := Q5β , Q10 := Q10β } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.K2 β’ False simp [ AllowsTermQ10 ] at h All goals completed! π
| .W3 => isFalse fun h => by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© x : ChargeSpectrum π© q10 : π© T : PotentialTerm h : x . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.W3 β’ False simp [ AllowsTermQ10 ] at h All goals completed! π
D.2. AllowsTermQ10 or AllowsTerm from AllowsTerm with inserted of Q10 charge
We show that if a charge spectrum x with an inserted charge q10
allows a potential term T, then either the charge spectrum x
allows that potential term T due to the addition of that charge,
or the charge spectrum x already allows that potential term T.
lemma allowsTermQ10_or_allowsTerm_of_allowsTerm_insertQ10 { qHd qHu : Option π© }
{ Q5 Q10 : Finset π© } { q10 : π© } ( T : PotentialTerm )
( h : AllowsTerm β¨ qHd , qHu , Q5 , insert q10 Q10 β© T ) :
AllowsTermQ10 β¨ qHd , qHu , Q5 , Q10 β© q10 T β¨
AllowsTerm β¨ qHd , qHu , Q5 , Q10 β© T := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© T : PotentialTerm h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm T β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 T β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T
rcases T ΞΌ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.ΞΌ β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.ΞΌ β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.ΞΌ Ξ² π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ² β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.Ξ² β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ² Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.Ξ β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ W1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W1 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.W1 β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W1 W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W2 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.W2 β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W2 W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W3 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.W3 β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W3 W4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W4 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.W4 β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W4 K1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.K1 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.K1 β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.K1 K2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.K2 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.K2 β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.K2 topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.topYukawa β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.topYukawa β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.topYukawa bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.bottomYukawa β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa
all_goals
simp [ allowsTerm_iff_zero_mem_ofPotentialTerm' , ofPotentialTerm' , AllowsTermQ10 ] at h β’ bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : 0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) β’ (match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => β a β Q5 , q10 + a + qHd = 0 ) β¨
0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val )
Β· ΞΌ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : 0 β
match qHd , qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => { qHd - qHu } β’ 0 β
match qHd , qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => { qHd - qHu } simp_all All goals completed! π
Β· Ξ² π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : 0 β
match qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x ) Q5 . val β’ 0 β
match qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x ) Q5 . val simp_all All goals completed! π
Β· Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b = 0 β’ (β a b , ( a β Q5 β§ b β Q5 ) β§ a + b + q10 = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0 obtain β¨ a1 , a2 , a3 , β¨ h1 , h2 , h3 β© , hsum β© := h Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 β’ (β a b , ( a β Q5 β§ b β Q5 ) β§ a + b + q10 = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0
rcases h3 with h3 | h3 Ξ.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 h3 : a3 = q10 β’ (β a b , ( a β Q5 β§ b β Q5 ) β§ a + b + q10 = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0 Ξ.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 h3 : a3 β Q10 β’ (β a b , ( a β Q5 β§ b β Q5 ) β§ a + b + q10 = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0
Β· Ξ.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 h3 : a3 = q10 β’ (β a b , ( a β Q5 β§ b β Q5 ) β§ a + b + q10 = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0 subst h3 Ξ.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 β’ (β a b , ( a β Q5 β§ b β Q5 ) β§ a + b + a3 = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0
left Ξ.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 β’ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q5 ) β§ a + b + a3 = 0
use a1 , a2 All goals completed! π
Β· Ξ.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 h3 : a3 β Q10 β’ (β a b , ( a β Q5 β§ b β Q5 ) β§ a + b + q10 = 0 ) β¨ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0 right Ξ.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 h3 : a3 β Q10 β’ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + b = 0
use a1 , a2 , a3 All goals completed! π
Β· W1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : β a a_1 a_2 b ,
( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( a_2 = q10 β¨ a_2 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0 β’ (β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0 obtain β¨ a1 , a2 , a3 , a4 , β¨ h1 , h2 , h3 , h4 β© , hsum β© := h W1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h4 : a4 = q10 β¨ a4 β Q10 β’ (β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0
rcases h2 with h2 | h2 W1.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h4 : a4 = q10 β¨ a4 β Q10 h2 : a2 = q10 β’ (β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0 W1.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h4 : a4 = q10 β¨ a4 β Q10 h2 : a2 β Q10 β’ (β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0
Β· W1.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h4 : a4 = q10 β¨ a4 β Q10 h2 : a2 = q10 β’ (β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0 subst h2 W1.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = a2 β¨ a3 β Q10 h4 : a4 = a2 β¨ a4 β Q10 β’ (β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = a2 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = a2 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + a2 = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0
left W1.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = a2 β¨ a3 β Q10 h4 : a4 = a2 β¨ a4 β Q10 β’ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = a2 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = a2 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + a2 = 0
use a1 , a3 , a4 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = a2 β¨ a3 β Q10 h4 : a4 = a2 β¨ a4 β Q10 β’ ( a1 β Q5 β§ ( a3 = a2 β¨ a3 β Q10 ) β§ ( a4 = a2 β¨ a4 β Q10 ) ) β§ a1 + a3 + a4 + a2 = 0
simp_all h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = a2 β¨ a3 β Q10 h4 : a4 = a2 β¨ a4 β Q10 β’ a1 + a3 + a4 + a2 = 0
rw [ β hsum h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = a2 β¨ a3 β Q10 h4 : a4 = a2 β¨ a4 β Q10 β’ a1 + a3 + a4 + a2 = a1 + a2 + a3 + a4 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = a2 β¨ a3 β Q10 h4 : a4 = a2 β¨ a4 β Q10 β’ a1 + a3 + a4 + a2 = a1 + a2 + a3 + a4 ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = a2 β¨ a3 β Q10 h4 : a4 = a2 β¨ a4 β Q10 β’ a1 + a3 + a4 + a2 = a1 + a2 + a3 + a4
abel All goals completed! π
rcases h3 with h3 | h3 W1.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h4 : a4 = q10 β¨ a4 β Q10 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 = q10 β’ (β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0 W1.inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h4 : a4 = q10 β¨ a4 β Q10 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 β’ (β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0
Β· W1.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h4 : a4 = q10 β¨ a4 β Q10 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 = q10 β’ (β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0 subst h3 W1.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h4 : a4 = a3 β¨ a4 β Q10 β’ (β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = a3 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = a3 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + a3 = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0
left W1.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h4 : a4 = a3 β¨ a4 β Q10 β’ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = a3 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = a3 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + a3 = 0
use a1 , a2 , a4 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h4 : a4 = a3 β¨ a4 β Q10 β’ ( a1 β Q5 β§ ( a2 = a3 β¨ a2 β Q10 ) β§ ( a4 = a3 β¨ a4 β Q10 ) ) β§ a1 + a2 + a4 + a3 = 0
simp_all h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h4 : a4 = a3 β¨ a4 β Q10 β’ a1 + a2 + a4 + a3 = 0
rw [ β hsum h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h4 : a4 = a3 β¨ a4 β Q10 β’ a1 + a2 + a4 + a3 = a1 + a2 + a3 + a4 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h4 : a4 = a3 β¨ a4 β Q10 β’ a1 + a2 + a4 + a3 = a1 + a2 + a3 + a4 ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h4 : a4 = a3 β¨ a4 β Q10 β’ a1 + a2 + a4 + a3 = a1 + a2 + a3 + a4
abel All goals completed! π
rcases h4 with h4 | h4 W1.inr.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h4 : a4 = q10 β’ (β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0 W1.inr.inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h4 : a4 β Q10 β’ (β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0
Β· W1.inr.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h4 : a4 = q10 β’ (β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0 subst h4 W1.inr.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 β’ (β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = a4 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = a4 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + a4 = 0 ) β¨
β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0
left W1.inr.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 β’ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = a4 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = a4 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + a4 = 0
use a1 , a2 , a3 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 β’ ( a1 β Q5 β§ ( a2 = a4 β¨ a2 β Q10 ) β§ ( a3 = a4 β¨ a3 β Q10 ) ) β§ a1 + a2 + a3 + a4 = 0
simp_all All goals completed! π
right W1.inr.inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© a4 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + a4 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 h4 : a4 β Q10 β’ β a a_1 a_2 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ a_2 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0
use a1 , a2 , a3 , a4 All goals completed! π
Β· W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : 0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd =>
Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 .1 + x .2 .2 )
( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) β’ (match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } =>
β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0
| x => False ) β¨
0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 .1 + x .2 .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ) match qHd with
| none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : 0 β
match none with
| none => 0
| some qHd =>
Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 .1 + x .2 .2 )
( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) β’ (match { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } =>
β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0
| x => False ) β¨
0 β
match none with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 .1 + x .2 .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ) simp at h All goals completed! π
| some qHd => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© h : 0 β
match some qHd with
| none => 0
| some qHd =>
Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 .1 + x .2 .2 )
( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) β’ (match { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } =>
β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 .1 + x .2 .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val )
simp_all π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© h : β a a_1 b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0 β’ (β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0
obtain β¨ a1 , a2 , a3 , β¨ h1 , h2 , h3 β© , hsum β© := h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 = q10 β¨ a1 β Q10 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 β’ (β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0
rcases h1 with h1 | h1 inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h1 : a1 = q10 β’ (β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0 inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h1 : a1 β Q10 β’ (β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0
Β· inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h1 : a1 = q10 β’ (β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0 subst h1 inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 = a1 β¨ a2 β Q10 h3 : a3 = a1 β¨ a3 β Q10 β’ (β a b , ( ( a = a1 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = a1 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + a1 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0
left inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 = a1 β¨ a2 β Q10 h3 : a3 = a1 β¨ a3 β Q10 β’ β a b , ( ( a = a1 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = a1 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + a1 = 0
use a2 , a3 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 = a1 β¨ a2 β Q10 h3 : a3 = a1 β¨ a3 β Q10 β’ ( ( a2 = a1 β¨ a2 β Q10 ) β§ ( a3 = a1 β¨ a3 β Q10 ) ) β§ qHd + a2 + a3 + a1 = 0
simp_all h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 = a1 β¨ a2 β Q10 h3 : a3 = a1 β¨ a3 β Q10 β’ qHd + a2 + a3 + a1 = 0
rw [ β hsum h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 = a1 β¨ a2 β Q10 h3 : a3 = a1 β¨ a3 β Q10 β’ qHd + a2 + a3 + a1 = qHd + a1 + a2 + a3 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 = a1 β¨ a2 β Q10 h3 : a3 = a1 β¨ a3 β Q10 β’ qHd + a2 + a3 + a1 = qHd + a1 + a2 + a3 ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h2 : a2 = a1 β¨ a2 β Q10 h3 : a3 = a1 β¨ a3 β Q10 β’ qHd + a2 + a3 + a1 = qHd + a1 + a2 + a3
abel All goals completed! π
rcases h2 with h2 | h2 inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h1 : a1 β Q10 h2 : a2 = q10 β’ (β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0 inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h1 : a1 β Q10 h2 : a2 β Q10 β’ (β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0
Β· inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h1 : a1 β Q10 h2 : a2 = q10 β’ (β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0 subst h2 inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q10 h3 : a3 = a2 β¨ a3 β Q10 β’ (β a b , ( ( a = a2 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = a2 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + a2 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0
left inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q10 h3 : a3 = a2 β¨ a3 β Q10 β’ β a b , ( ( a = a2 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = a2 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + a2 = 0
use a1 , a3 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q10 h3 : a3 = a2 β¨ a3 β Q10 β’ ( ( a1 = a2 β¨ a1 β Q10 ) β§ ( a3 = a2 β¨ a3 β Q10 ) ) β§ qHd + a1 + a3 + a2 = 0
simp_all h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q10 h3 : a3 = a2 β¨ a3 β Q10 β’ qHd + a1 + a3 + a2 = 0
rw [ β hsum h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q10 h3 : a3 = a2 β¨ a3 β Q10 β’ qHd + a1 + a3 + a2 = qHd + a1 + a2 + a3 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q10 h3 : a3 = a2 β¨ a3 β Q10 β’ qHd + a1 + a3 + a2 = qHd + a1 + a2 + a3 ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q10 h3 : a3 = a2 β¨ a3 β Q10 β’ qHd + a1 + a3 + a2 = qHd + a1 + a2 + a3
abel All goals completed! π
rcases h3 with h3 | h3 inr.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q10 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 = q10 β’ (β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0 inr.inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q10 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 β’ (β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0
Β· inr.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q10 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 = q10 β’ (β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0 subst h3 inr.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q10 h2 : a2 β Q10 β’ (β a b , ( ( a = a3 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = a3 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + a3 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0
left inr.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q10 h2 : a2 β Q10 β’ β a b , ( ( a = a3 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = a3 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + a3 = 0
use a1 , a2 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q10 h2 : a2 β Q10 β’ ( ( a1 = a3 β¨ a1 β Q10 ) β§ ( a2 = a3 β¨ a2 β Q10 ) ) β§ qHd + a1 + a2 + a3 = 0
simp_all All goals completed! π
right inr.inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q10 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 β’ β a a_1 b , ( a β Q10 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0
use a1 , a2 , a3 All goals completed! π
Β· W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : 0 β
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| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val ) β’ 0 β
match qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val ) match qHu with
| none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : 0 β
match none with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val ) β’ 0 β
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| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val ) simp at h All goals completed! π
| some qHu => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© h : 0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val ) β’ 0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q5 . val ) simp_all All goals completed! π
Β· W4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : 0 β
match qHd , qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) Q5 . val β’ 0 β
match qHd , qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) Q5 . val match qHd , qHu with
| none , _ => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© xβ : Option π© h : 0 β
match none , xβ with
| none , x => 0
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| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) Q5 . val β’ 0 β
match none , xβ with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) Q5 . val simp at h All goals completed! π
| some x , none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© x : π© h : 0 β
match some x , none with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) Q5 . val β’ 0 β
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| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) Q5 . val simp at h All goals completed! π
| some qHd , some qHu => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© qHu : π© h : 0 β
match some qHd , some qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) Q5 . val β’ 0 β
match some qHd , some qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd - qHu - qHu + x ) Q5 . val simp_all All goals completed! π
Β· K1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - a + a_1 + b = 0 β’ (β a b , ( a β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0 obtain β¨ a1 , a2 , a3 , β¨ h1 , h2 , h3 β© , hsum β© := h K1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 β’ (β a b , ( a β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0
rcases h2 with h2 | h2 K1.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h2 : a2 = q10 β’ (β a b , ( a β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0 K1.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h2 : a2 β Q10 β’ (β a b , ( a β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0
Β· K1.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h2 : a2 = q10 β’ (β a b , ( a β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0 left K1.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h2 : a2 = q10 β’ β a b , ( a β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - a + b + q10 = 0
use a1 , a3 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h2 : a2 = q10 β’ ( a1 β Q5 β§ ( a3 = q10 β¨ a3 β Q10 ) ) β§ - a1 + a3 + q10 = 0
simp_all h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + q10 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h2 : a2 = q10 β’ - a1 + a3 + q10 = 0
rw [ β hsum h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + q10 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h2 : a2 = q10 β’ - a1 + a3 + q10 = - a1 + q10 + a3 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + q10 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h2 : a2 = q10 β’ - a1 + a3 + q10 = - a1 + q10 + a3 ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + q10 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 h2 : a2 = q10 β’ - a1 + a3 + q10 = - a1 + q10 + a3
abel All goals completed! π
rcases h3 with h3 | h3 K1.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 = q10 β’ (β a b , ( a β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0 K1.inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 β’ (β a b , ( a β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0
Β· K1.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 = q10 β’ (β a b , ( a β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - a + b + q10 = 0 ) β¨
β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0 left K1.inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 = q10 β’ β a b , ( a β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - a + b + q10 = 0
use a1 , a2 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 = q10 β’ ( a1 β Q5 β§ ( a2 = q10 β¨ a2 β Q10 ) ) β§ - a1 + a2 + q10 = 0
simp_all All goals completed! π
right K1.inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : - a1 + a2 + a3 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 h3 : a3 β Q10 β’ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - a + a_1 + b = 0
use a1 , a2 , a3 All goals completed! π
Β· K2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : 0 β
match qHd , qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd + qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) β’ (match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => qHd + qHu + q10 = 0
| x => False ) β¨
0 β
match qHd , qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd + qHu + x ) Q10 . val match qHd , qHu with
| none , _ => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© xβ : Option π© h : 0 β
match none , xβ with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd + qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) β’ (match { qHd := none , qHu := xβ , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => qHd + qHu + q10 = 0
| x => False ) β¨
0 β
match none , xβ with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd + qHu + x ) Q10 . val simp at h All goals completed! π
| some x , none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© x : π© h : 0 β
match some x , none with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd + qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) β’ (match { qHd := some x , qHu := none , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => qHd + qHu + q10 = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some x , none with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd + qHu + x ) Q10 . val simp at h All goals completed! π
| some qHd , some qHu => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© qHu : π© h : 0 β
match some qHd , some qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd + qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) β’ (match { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => qHd + qHu + q10 = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHd , some qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd + qHu + x ) Q10 . val simp_all All goals completed! π
Β· topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : 0 β
match qHu with
| none => 0
| some qHu =>
Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) β’ (match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => q10 + q10 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ) match qHu with
| none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : 0 β
match none with
| none => 0
| some qHu =>
Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) β’ (match { qHd := qHd , qHu := none , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => q10 + q10 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match none with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ) simp at h All goals completed! π
| some qHu => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© h : 0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu =>
Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => q10 + q10 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val )
simp at h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© h : β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - qHu + a + b = 0 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => q10 + q10 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val )
obtain β¨ a1 , a2 , β¨ h1 , h2 β© , hsum β© := h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 = q10 β¨ a1 β Q10 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => q10 + q10 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val )
rcases h1 with h1 | h1 inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 h1 : a1 = q10 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => q10 + q10 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ) inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 h1 : a1 β Q10 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => q10 + q10 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val )
Β· inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 h1 : a1 = q10 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => q10 + q10 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ) subst h1 inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 = a1 β¨ a2 β Q10 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => a1 + a1 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , a1 + a - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val )
left inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 = a1 β¨ a2 β Q10 β’ match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => a1 + a1 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , a1 + a - qHu = 0
| x => False
rcases h2 with h2 | h2 inl.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 = a1 β’ match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => a1 + a1 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , a1 + a - qHu = 0
| x => False inl.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 β’ match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => a1 + a1 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , a1 + a - qHu = 0
| x => False
Β· inl.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 = a1 β’ match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => a1 + a1 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , a1 + a - qHu = 0
| x => False subst h2 inl.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a2 : π© hsum : - qHu + a2 + a2 = 0 β’ match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => a2 + a2 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , a2 + a - qHu = 0
| x => False
left inl.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a2 : π© hsum : - qHu + a2 + a2 = 0 β’ a2 + a2 - qHu = 0
rw [ β hsum inl.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a2 : π© hsum : - qHu + a2 + a2 = 0 β’ a2 + a2 - qHu = - qHu + a2 + a2 inl.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a2 : π© hsum : - qHu + a2 + a2 = 0 β’ a2 + a2 - qHu = - qHu + a2 + a2 ] inl.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a2 : π© hsum : - qHu + a2 + a2 = 0 β’ a2 + a2 - qHu = - qHu + a2 + a2
abel All goals completed! π
Β· inl.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 β’ match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => a1 + a1 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , a1 + a - qHu = 0
| x => False right inl.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 β’ β a β Q10 , a1 + a - qHu = 0
use a2 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 β’ a2 β Q10 β§ a1 + a2 - qHu = 0
simp_all h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 β’ a1 + a2 - qHu = 0
rw [ β hsum h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 β’ a1 + a2 - qHu = - qHu + a1 + a2 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 β’ a1 + a2 - qHu = - qHu + a1 + a2 ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h2 : a2 β Q10 β’ a1 + a2 - qHu = - qHu + a1 + a2
abel All goals completed! π
rcases h2 with h2 | h2 inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q10 h2 : a2 = q10 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => q10 + q10 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ) inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q10 h2 : a2 β Q10 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => q10 + q10 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val )
Β· inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q10 h2 : a2 = q10 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => q10 + q10 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ) subst h2 inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q10 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => a2 + a2 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , a2 + a - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val )
left inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q10 β’ match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => a2 + a2 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , a2 + a - qHu = 0
| x => False ; right inr.inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q10 β’ β a β Q10 , a2 + a - qHu = 0
use a1 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q10 β’ a1 β Q10 β§ a2 + a1 - qHu = 0
simp_all h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q10 β’ a2 + a1 - qHu = 0
rw [ β hsum h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q10 β’ a2 + a1 - qHu = - qHu + a1 + a2 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q10 β’ a2 + a1 - qHu = - qHu + a1 + a2 ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q10 β’ a2 + a1 - qHu = - qHu + a1 + a2
abel All goals completed! π
Β· inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q10 h2 : a2 β Q10 β’ (match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => q10 + q10 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0
| x => False ) β¨
0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val ) right inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q10 h2 : a2 β Q10 β’ 0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu => Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Q10 . val ΓΛ’ Q10 . val )
simp only [ Multiset.mem_map , Multiset.mem_product , Finset.mem_val , Prod.exists ] inr.inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - qHu + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q10 h2 : a2 β Q10 β’ β a b , ( a β Q10 β§ b β Q10 ) β§ - qHu + a + b = 0
use a1 , a2 All goals completed! π
Β· bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : 0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) β’ (match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => β a β Q5 , q10 + a + qHd = 0 ) β¨
0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val ) match qHd with
| none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : 0 β
match none with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) β’ (match { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => β a β Q5 , q10 + a + qHd = 0 ) β¨
0 β
match none with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val ) simp at h All goals completed! π
| some qHd => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© h : 0 β
match some qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) β’ (match { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => β a β Q5 , q10 + a + qHd = 0 ) β¨
0 β
match some qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Q10 . val )
simp_all π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© h : β a b , ( a β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b = 0 β’ (β a β Q5 , q10 + a + qHd = 0 ) β¨ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0
obtain β¨ a1 , a2 , β¨ h1 , h2 β© , hsum β© := h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 β’ (β a β Q5 , q10 + a + qHd = 0 ) β¨ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0
rcases h2 with h2 | h2 inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q10 β’ (β a β Q5 , q10 + a + qHd = 0 ) β¨ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0 inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 β’ (β a β Q5 , q10 + a + qHd = 0 ) β¨ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0
Β· inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q10 β’ (β a β Q5 , q10 + a + qHd = 0 ) β¨ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0 subst h2 inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 β’ (β a β Q5 , a2 + a + qHd = 0 ) β¨ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0
left inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 β’ β a β Q5 , a2 + a + qHd = 0
use a1 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 β’ a1 β Q5 β§ a2 + a1 + qHd = 0
simp_all h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 β’ a2 + a1 + qHd = 0
rw [ β hsum h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 β’ a2 + a1 + qHd = qHd + a1 + a2 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 β’ a2 + a1 + qHd = qHd + a1 + a2 ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 β’ a2 + a1 + qHd = qHd + a1 + a2
abel All goals completed! π
right inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q10 β’ β a b , ( a β Q5 β§ b β Q10 ) β§ qHd + a + b = 0
use a1 , a2 All goals completed! π
D.3. AllowsTerm with inserted of Q10 charge from AllowsTermQ5
We show that if a charge spectrum x allows a potential term T
due to the addition of a charge q10, then the charge spectrum x with that charge inserted
allows that potential term T.
lemma allowsTerm_insertQ10_of_allowsTermQ10 { qHd qHu : Option π© }
{ Q5 Q10 : Finset π© } { q10 : π© } ( T : PotentialTerm )
( h : AllowsTermQ10 β¨ qHd , qHu , Q5 , Q10 β© q10 T ) :
AllowsTerm β¨ qHd , qHu , Q5 , insert q10 Q10 β© T := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© T : PotentialTerm h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 T β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm T
rcases T ΞΌ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.ΞΌ β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.ΞΌ Ξ² π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.Ξ² β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ² Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.Ξ β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.Ξ W1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.W1 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W1 W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.W2 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W2 W3 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.W3 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W3 W4 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.W4 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.W4 K1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.K1 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.K1 K2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.K2 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.K2 topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.topYukawa β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.topYukawa bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 PotentialTerm.bottomYukawa β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa
all_goals
simp [ AllowsTermQ10 ] at h bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => β a β Q5 , q10 + a + qHd = 0 β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm PotentialTerm.bottomYukawa
all_goals
simp [ allowsTerm_iff_zero_mem_ofPotentialTerm' , ofPotentialTerm' ] bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => β a β Q5 , q10 + a + qHd = 0 β’ 0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val )
Β· Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : β a b , ( a β Q5 β§ b β Q5 ) β§ a + b + q10 = 0 β’ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b = 0 obtain β¨ a1 , a2 , β¨ h1 , h2 β© , hsum β© := h Ξ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© hsum : a1 + a2 + q10 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 β’ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ a_1 β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b = 0
use a1 , a2 , q10 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© hsum : a1 + a2 + q10 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 β Q5 β’ ( a1 β Q5 β§ a2 β Q5 β§ ( q10 = q10 β¨ q10 β Q10 ) ) β§ a1 + a2 + q10 = 0
simp_all All goals completed! π
Β· W1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + b + q10 = 0 β’ β a a_1 a_2 b ,
( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( a_2 = q10 β¨ a_2 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0 obtain β¨ a1 , a2 , a3 , β¨ h1 , h2 , h3 β© , hsum β© := h W1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + q10 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 β’ β a a_1 a_2 b ,
( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( a_2 = q10 β¨ a_2 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ a + a_1 + a_2 + b = 0
use a1 , a2 , a3 , q10 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© a3 : π© hsum : a1 + a2 + a3 + q10 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 h3 : a3 = q10 β¨ a3 β Q10 β’ ( a1 β Q5 β§ ( a2 = q10 β¨ a2 β Q10 ) β§ ( a3 = q10 β¨ a3 β Q10 ) β§ ( q10 = q10 β¨ q10 β Q10 ) ) β§ a1 + a2 + a3 + q10 = 0
simp_all All goals completed! π
Β· W2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } =>
β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0
| x => False β’ 0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd =>
Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 .1 + x .2 .2 )
( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) match qHd with
| none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : match { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } =>
β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0
| x => False β’ 0 β
match none with
| none => 0
| some qHd =>
Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 .1 + x .2 .2 )
( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) simp at h All goals completed! π
| some qHd => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© h : match { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } =>
β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0
| x => False β’ 0 β
match some qHd with
| none => 0
| some qHd =>
Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 .1 + x .2 .2 )
( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val )
simp at h β’ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© h : β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b + q10 = 0 β’ β a a_1 b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0
obtain β¨ a1 , a2 , β¨ h1 , h2 β© , hsum β© := h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + q10 = 0 h1 : a1 = q10 β¨ a1 β Q10 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 β’ β a a_1 b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + a_1 + b = 0
use a1 , a2 , q10 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© a2 : π© hsum : qHd + a1 + a2 + q10 = 0 h1 : a1 = q10 β¨ a1 β Q10 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 β’ ( ( a1 = q10 β¨ a1 β Q10 ) β§ ( a2 = q10 β¨ a2 β Q10 ) β§ ( q10 = q10 β¨ q10 β Q10 ) ) β§ qHd + a1 + a2 + q10 = 0
simp_all All goals completed! π
Β· K1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : β a b , ( a β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - a + b + q10 = 0 β’ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - a + a_1 + b = 0 obtain β¨ a1 , a2 , β¨ h1 , h2 β© , hsum β© := h K1 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - a1 + a2 + q10 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 β’ β a a_1 b , ( a β Q5 β§ ( a_1 = q10 β¨ a_1 β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - a + a_1 + b = 0
use a1 , a2 , q10 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© a1 : π© a2 : π© hsum : - a1 + a2 + q10 = 0 h1 : a1 β Q5 h2 : a2 = q10 β¨ a2 β Q10 β’ ( a1 β Q5 β§ ( a2 = q10 β¨ a2 β Q10 ) β§ ( q10 = q10 β¨ q10 β Q10 ) ) β§ - a1 + a2 + q10 = 0
simp_all All goals completed! π
Β· K2 π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => qHd + qHu + q10 = 0
| x => False β’ 0 β
match qHd , qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd + qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) match qHd , qHu with
| none , _ => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© xβ : Option π© h : match { qHd := none , qHu := xβ , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => qHd + qHu + q10 = 0
| x => False β’ 0 β
match none , xβ with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd + qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) simp at h All goals completed! π
| some x , none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© x : π© h : match { qHd := some x , qHu := none , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => qHd + qHu + q10 = 0
| x => False β’ 0 β
match some x , none with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd + qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) simp at h All goals completed! π
| some qHd , some qHu => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© qHu : π© h : match { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := some qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => qHd + qHu + q10 = 0
| x => False β’ 0 β
match some qHd , some qHu with
| none , x => 0
| x , none => 0
| some qHd , some qHu => Multiset.map (fun x => qHd + qHu + x ) ( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) simp_all All goals completed! π
Β· topYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => q10 + q10 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0
| x => False β’ 0 β
match qHu with
| none => 0
| some qHu =>
Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) match qHu with
| none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : match { qHd := qHd , qHu := none , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => q10 + q10 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0
| x => False β’ 0 β
match none with
| none => 0
| some qHu =>
Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) simp at h All goals completed! π
| some qHu => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© h : match { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := qHd , qHu := some qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10_1 } => q10 + q10 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0
| x => False β’ 0 β
match some qHu with
| none => 0
| some qHu =>
Multiset.map (fun x => - qHu + x .1 + x .2 ) ( Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val )
simp at h β’ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© h : q10 + q10 - qHu = 0 β¨ β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0 β’ β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - qHu + a + b = 0
rcases h with h | h inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© h : q10 + q10 - qHu = 0 β’ β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - qHu + a + b = 0 inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© h : β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0 β’ β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - qHu + a + b = 0
Β· inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© h : q10 + q10 - qHu = 0 β’ β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - qHu + a + b = 0 use q10 , q10 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© h : q10 + q10 - qHu = 0 β’ ( ( q10 = q10 β¨ q10 β Q10 ) β§ ( q10 = q10 β¨ q10 β Q10 ) ) β§ - qHu + q10 + q10 = 0
rw [ β h h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© h : q10 + q10 - qHu = 0 β’ ( ( q10 = q10 β¨ q10 β Q10 ) β§ ( q10 = q10 β¨ q10 β Q10 ) ) β§ - qHu + q10 + q10 = q10 + q10 - qHu h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© h : q10 + q10 - qHu = 0 β’ ( ( q10 = q10 β¨ q10 β Q10 ) β§ ( q10 = q10 β¨ q10 β Q10 ) ) β§ - qHu + q10 + q10 = q10 + q10 - qHu ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© h : q10 + q10 - qHu = 0 β’ ( ( q10 = q10 β¨ q10 β Q10 ) β§ ( q10 = q10 β¨ q10 β Q10 ) ) β§ - qHu + q10 + q10 = q10 + q10 - qHu
simp only [ true_or , and_self , true_and ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© h : q10 + q10 - qHu = 0 β’ - qHu + q10 + q10 = q10 + q10 - qHu
abel All goals completed! π
Β· inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© h : β a β Q10 , q10 + a - qHu = 0 β’ β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - qHu + a + b = 0 obtain β¨ a1 , h1 , hsum β© := h inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© a1 : π© h1 : a1 β Q10 hsum : q10 + a1 - qHu = 0 β’ β a b , ( ( a = q10 β¨ a β Q10 ) β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ - qHu + a + b = 0
use a1 , q10 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© a1 : π© h1 : a1 β Q10 hsum : q10 + a1 - qHu = 0 β’ ( ( a1 = q10 β¨ a1 β Q10 ) β§ ( q10 = q10 β¨ q10 β Q10 ) ) β§ - qHu + a1 + q10 = 0
simp_all h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© a1 : π© h1 : a1 β Q10 hsum : q10 + a1 - qHu = 0 β’ - qHu + a1 + q10 = 0
rw [ β hsum h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© a1 : π© h1 : a1 β Q10 hsum : q10 + a1 - qHu = 0 β’ - qHu + a1 + q10 = q10 + a1 - qHu h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© a1 : π© h1 : a1 β Q10 hsum : q10 + a1 - qHu = 0 β’ - qHu + a1 + q10 = q10 + a1 - qHu ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHuβ : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHu : π© a1 : π© h1 : a1 β Q10 hsum : q10 + a1 - qHu = 0 β’ - qHu + a1 + q10 = q10 + a1 - qHu
abel All goals completed! π
Β· bottomYukawa π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : match { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => β a β Q5 , q10 + a + qHd = 0 β’ 0 β
match qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) match qHd with
| none => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© h : match { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => β a β Q5 , q10 + a + qHd = 0 β’ 0 β
match none with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val ) simp at h All goals completed! π
| some qHd => π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© h : match { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } with
| { qHd := none , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } => False
| { qHd := some qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5_1 , Q10 := Q10 } => β a β Q5 , q10 + a + qHd = 0 β’ 0 β
match some qHd with
| none => 0
| some qHd => Multiset.map (fun x => qHd + x .1 + x .2 ) ( Q5 . val ΓΛ’ Multiset.ndinsert q10 Q10 . val )
simp at h β’ π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© h : β a β Q5 , q10 + a + qHd = 0 β’ β a b , ( a β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b = 0
obtain β¨ a1 , h1 , hsum β© := h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© h1 : a1 β Q5 hsum : q10 + a1 + qHd = 0 β’ β a b , ( a β Q5 β§ ( b = q10 β¨ b β Q10 ) ) β§ qHd + a + b = 0
use a1 , q10 h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© h1 : a1 β Q5 hsum : q10 + a1 + qHd = 0 β’ ( a1 β Q5 β§ ( q10 = q10 β¨ q10 β Q10 ) ) β§ qHd + a1 + q10 = 0
simp_all h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© h1 : a1 β Q5 hsum : q10 + a1 + qHd = 0 β’ qHd + a1 + q10 = 0
rw [ β hsum h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© h1 : a1 β Q5 hsum : q10 + a1 + qHd = 0 β’ qHd + a1 + q10 = q10 + a1 + qHd h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© h1 : a1 β Q5 hsum : q10 + a1 + qHd = 0 β’ qHd + a1 + q10 = q10 + a1 + qHd ] h π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHdβ : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© qHd : π© a1 : π© h1 : a1 β Q5 hsum : q10 + a1 + qHd = 0 β’ qHd + a1 + q10 = q10 + a1 + qHd
abel All goals completed! π
D.4. AllowsTerm with inserted of Q10 charge iff AllowsTermQ10 or AllowsTerm
We show that the charge spectrum x with that charge inserted
allows that potential term T if and only if either the charge spectrum x
allows that potential term T due to the addition of that charge,
or the charge spectrum x already allows that potential term T.
lemma allowsTerm_insertQ10_iff_allowsTermQ10 { qHd qHu : Option π© }
{ Q5 Q10 : Finset π© } { q10 : π© } ( T : PotentialTerm ) :
AllowsTerm β¨ qHd , qHu , Q5 , insert q10 Q10 β© T β
AllowsTermQ10 β¨ qHd , qHu , Q5 , Q10 β© q10 T β¨
AllowsTerm β¨ qHd , qHu , Q5 , Q10 β© T := by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© T : PotentialTerm β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm T β
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 T β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T
refine β¨ allowsTermQ10_or_allowsTerm_of_allowsTerm_insertQ10 T , ? _ β© π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© T : PotentialTerm β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 T β¨
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T β
{ qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm T
rintro ( h | h ) inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© T : PotentialTerm h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 T β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm T inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© T : PotentialTerm h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm T
Β· inl π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© T : PotentialTerm h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTermQ10 q10 T β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm T exact allowsTerm_insertQ10_of_allowsTermQ10 T h All goals completed! π
Β· inr π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© T : PotentialTerm h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } . AllowsTerm T exact allowsTerm_mono ( by π© : Type instβΒΉ : AddCommGroup π© instβ : DecidableEq π© qHd : Option π© qHu : Option π© Q5 : Finset π© Q10 : Finset π© q10 : π© T : PotentialTerm h : { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } . AllowsTerm T β’ { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := Q10 } β { qHd := qHd , qHu := qHu , Q5 := Q5 , Q10 := insert q10 Q10 } simp [ subset_def ] All goals completed! π ) h