1. Physlib
  2. QuantumMechanics
  3. Hydrogen
  4. LaplaceRungeLenzVector
Imports
/- Copyright (c) 2026 Gregory J. Loges. All rights reserved. Released under Apache 2.0 license as described in the file LICENSE. Authors: Gregory J. Loges -/ module public import Physlib.QuantumMechanics.Hydrogen.Basic public import Physlib.QuantumMechanics.Operators.Commutation public import Physlib.Meta.Linters.Sorry

Laplace-Runge-Lenz vector

In this file we define

    The (regularized) LRL vector operator for the quantum mechanical hydrogen atom, 𝐀(ε)ᵢ ≔ ½(𝐩ⱼ𝐋ᵢⱼ + 𝐋ᵢⱼ𝐩ⱼ) - mk·𝐫(ε)⁻¹𝐱ᵢ.

The main results are

    The commutators ⁅𝐋ᵢⱼ, 𝐀(ε)ₖ⁆ = iℏ(δᵢₖ𝐀(ε)ⱼ - δⱼₖ𝐀(ε)ᵢ) in angularMomentum_commutation_lrl

    The commutators ⁅𝐀(ε)ᵢ, 𝐀(ε)ⱼ⁆ = (-2iℏm·𝐇(ε) + iℏmkε²·𝐫(ε)⁻³))𝐋ᵢⱼ in lrl_commutation_lrl

    The commutators ⁅𝐇(ε), 𝐀(ε)ᵢ⁆ = iℏε²(⋯) in hamiltonianReg_commutation_lrl

    The relation 𝐀(ε)² = 2m 𝐇(ε)(𝐋² + ¼ℏ²(d-1)²) + m²k² + ε²(⋯) in lrlOperatorSqr_eq

@[expose] public sectionattribute [local instance 100] LieRing.ofAssociativeRing

The (regularized) Laplace-Runge-Lenz vector operator for the d-dimensional hydrogen atom, 𝐀(ε)ᵢ ≔ ½(𝐩ⱼ𝐋ᵢⱼ + 𝐋ᵢⱼ𝐩ⱼ) - mk·𝐫(ε)⁻¹𝐱ᵢ.

def lrlOperator (ε : ℝˣ) (i : Fin H.d) : 𝓢(Space H.d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space H.d, ℂ) := (2 : ℝ)⁻¹ • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩) - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘L 𝐱 i

𝐀(ε)ᵢ = 𝐱ᵢ𝐩² - (𝐱ⱼ𝐩ⱼ)𝐩ᵢ + ½iℏ(d-1)𝐩ᵢ - mk·𝐫(ε)⁻¹𝐱ᵢ

H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩) = 𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 i + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 i -- mk·r⁻¹x terms match exactly calc _ = (2 : ℝ)⁻¹ • ∑ j, ((𝐩 j ∘L 𝐱 i) ∘L 𝐩 j + 𝐱 i ∘L 𝐩 j ∘L 𝐩 j - ((𝐩 j ∘L 𝐱 j) ∘L 𝐩 i + 𝐱 j ∘L 𝐩 j ∘L 𝐩 i)) := H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩) = 2⁻¹ • ∑ j, ((𝐩 j ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 j + 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - ((𝐩 j ∘SL 𝐱 j) ∘SL 𝐩 i + 𝐱 j ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 i)) simp_rw H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩) = 2⁻¹ • ∑ j, ((𝐩 j ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 j + 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - ((𝐩 j ∘SL 𝐱 j) ∘SL 𝐩 i + 𝐱 j ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 i))H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • (∑ i_1, 𝐩 i_1 * 𝐋 i i_1 + ∑ i_1, 𝐋 i i_1 * 𝐩 i_1) = 2⁻¹ • ∑ j, ((𝐩 j ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 j + 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - ((𝐩 j ∘SL 𝐱 j) ∘SL 𝐩 i + 𝐱 j ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 i)) H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • (∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐋 i x + ∑ x, 𝐋 i x ∘SL 𝐩 x) = 2⁻¹ • ∑ j, ((𝐩 j ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 j + 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - ((𝐩 j ∘SL 𝐱 j) ∘SL 𝐩 i + 𝐱 j ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 i)) H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • ∑ x, (𝐩 x ∘SL 𝐋 i x + 𝐋 i x ∘SL 𝐩 x) = 2⁻¹ • ∑ j, ((𝐩 j ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 j + 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - ((𝐩 j ∘SL 𝐱 j) ∘SL 𝐩 i + 𝐱 j ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 i)) H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • ∑ x, (𝐩 x ∘SL (𝐱 i ∘SL 𝐩 x - 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) + (𝐱 i ∘SL 𝐩 x - 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 x) = 2⁻¹ • ∑ j, ((𝐩 j ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 j + 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - ((𝐩 j ∘SL 𝐱 j) ∘SL 𝐩 i + 𝐱 j ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 i)) H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • ∑ x, (𝐩 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x - 𝐩 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i + (𝐱 i ∘SL 𝐩 x - 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 x) = 2⁻¹ • ∑ j, ((𝐩 j ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 j + 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - ((𝐩 j ∘SL 𝐱 j) ∘SL 𝐩 i + 𝐱 j ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 i)) H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • ∑ x, (𝐩 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x - 𝐩 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i + ((𝐱 i ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐩 x - (𝐱 x ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 x)) = 2⁻¹ • ∑ j, ((𝐩 j ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 j + 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - ((𝐩 j ∘SL 𝐱 j) ∘SL 𝐩 i + 𝐱 j ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 i)) H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • ∑ x, (𝐩 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x - 𝐩 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i + (𝐱 i ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐩 x - 𝐱 x ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 x)) = 2⁻¹ • ∑ x, (𝐩 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x + 𝐱 i ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐩 x - (𝐩 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i + 𝐱 x ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐩 i)) H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • ∑ x, (𝐩 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x - 𝐩 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i + (𝐱 i ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐩 x - 𝐱 x ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 x)) = 2⁻¹ • ∑ x, (𝐩 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x + 𝐱 i ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐩 x - (𝐩 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i + 𝐱 x ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 x)) H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • ∑ x, (𝐩 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x - 𝐩 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i + (𝐱 i ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐩 x - 𝐱 x ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 x)) = 2⁻¹ • ∑ x, (𝐩 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x + 𝐱 i ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐩 x - 𝐩 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i - 𝐱 x ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 x) H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • ∑ x, (𝐩 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x - 𝐩 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i + 𝐱 i ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐩 x - 𝐱 x ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 x) = 2⁻¹ • ∑ x, (𝐩 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x + 𝐱 i ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐩 x - 𝐩 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i - 𝐱 x ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 x) All goals completed! 🐙] _ = (2 : ℂ)⁻¹ • ∑ j, ((2 : ℂ) • 𝐱 i ∘L 𝐩 j ∘L 𝐩 j - (I * ℏ) • δ[i,j] • 𝐩 j - ((2 : ℂ) • (𝐱 j ∘L 𝐩 j) ∘L 𝐩 i - (I * ℏ) • 𝐩 i)) := H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • ∑ j, ((𝐩 j ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 j + 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - ((𝐩 j ∘SL 𝐱 j) ∘SL 𝐩 i + 𝐱 j ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 i)) = 2⁻¹ • ∑ j, (2 • 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - (I * ↑↑ℏ) • δ[i,j] • 𝐩 j - (2 • (𝐱 j ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i)) All goals completed! 🐙 _ = (2 : ℂ)⁻¹ • ∑ j, ((2 : ℂ) • 𝐱 i ∘L 𝐩 j ∘L 𝐩 j - (2 : ℂ) • (𝐱 j ∘L 𝐩 j) ∘L 𝐩 i + (I * ℏ) • 𝐩 i - (I * ℏ) • δ[i,j] • 𝐩 j) := H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • ∑ j, (2 • 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - (I * ↑↑ℏ) • δ[i,j] • 𝐩 j - (2 • (𝐱 j ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i)) = 2⁻¹ • ∑ j, (2 • 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - 2 • (𝐱 j ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐩 i + (I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ) • δ[i,j] • 𝐩 j) simp_rw H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • ∑ j, (2 • 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - (I * ↑↑ℏ) • δ[i,j] • 𝐩 j - (2 • (𝐱 j ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i)) = 2⁻¹ • ∑ j, (2 • 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - 2 • (𝐱 j ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐩 i + (I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ) • δ[i,j] • 𝐩 j)H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • ∑ x, (2 • 𝐱 i ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐩 x - 2 • (𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐩 i - ((I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐩 x - (I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i)) = 2⁻¹ • ∑ j, (2 • 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - 2 • (𝐱 j ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐩 i + (I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ) • δ[i,j] • 𝐩 j) All goals completed! 🐙] _ = 𝐱 i ∘L (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘L 𝐩 i + ((2⁻¹ * I * ℏ) • H.d • 𝐩 i - (2⁻¹ * I * ℏ) • 𝐩 i) := H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2⁻¹ • ∑ j, (2 • 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - 2 • (𝐱 j ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐩 i + (I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ) • δ[i,j] • 𝐩 j) = 𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 i + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ) • H.d • 𝐩 i - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i) H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (2⁻¹ * 2) • 𝐱 i ∘SL ∑ i, 𝐩 i ∘SL 𝐩 i - (2⁻¹ * 2) • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 i + ((2⁻¹ * (I * ↑↑ℏ)) • ∑ x, 𝐩 i - (2⁻¹ * (I * ↑↑ℏ)) • 𝐩 i) = 𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 i + ((2⁻¹ * (I * ↑↑ℏ)) • H.d • 𝐩 i - (2⁻¹ * (I * ↑↑ℏ)) • 𝐩 i) H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 𝐱 i ∘SL ∑ i, 𝐩 i ∘SL 𝐩 i - (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 i = 𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 i All goals completed! 🐙 _ = 𝐱 i ∘L (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘L 𝐩 i + (2⁻¹ * I * ℏ * (H.d - 1)) • 𝐩 i := H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 i + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ) • H.d • 𝐩 i - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i) = 𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 i + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 i All goals completed! 🐙

𝐀(ε)ᵢ = 𝐋ᵢⱼ𝐩ⱼ + ½iℏ(d-1)𝐩ᵢ - mk·𝐫(ε)⁻¹𝐱ᵢ

H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 i = 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩 H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩 = 𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩 = ∑ j, 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - ∑ j, (𝐱 j ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐩 iH:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ ∑ j, 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - ∑ j, (𝐱 j ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐩 i = 𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩 = ∑ j, 𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 j - ∑ j, (𝐱 j ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐩 i All goals completed! 🐙 All goals completed! 🐙

𝐀(ε)ᵢ = 𝐩ⱼ𝐋ᵢⱼ - ½iℏ(d-1)𝐩ᵢ - mk·𝐫(ε)⁻¹𝐱ᵢ

lemma lrlOperator_eq'' (ε : ℝˣ) (i : Fin H.d) : H.lrlOperator ε i = 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i - (2⁻¹ * I * ℏ * (H.d - 1)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘L 𝐱 i := H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ H.lrlOperator ε i = 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ H.lrlOperator ε i = 2 • H.lrlOperator ε i - H.lrlOperator ε iH:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2 • H.lrlOperator ε i - H.lrlOperator ε i = 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ H.lrlOperator ε i = 2 • H.lrlOperator ε i - H.lrlOperator ε i All goals completed! 🐙 nth_rw 2 [H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2 • H.lrlOperator ε i - (𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩 + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i) = 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 iH:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 2 • H.lrlOperator ε i - (𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩 + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i) = 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (2 * 2⁻¹) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i) + (2 * 2⁻¹) • (𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩) - (2 * (H.m * H.k)) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i - (𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩 + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i) = 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ 1 • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i) + 1 • (𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩) - (H.m * H.k * 2) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i - (𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩 + (I * ↑↑ℏ * (-1 / 2) + I * ↑↑ℏ * ↑H.d * (1 / 2)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i) = 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i - (I * ↑↑ℏ * (-1 / 2) + I * ↑↑ℏ * ↑H.d * (1 / 2)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dx✝¹:𝓢(Space H.d, ℂ)x✝:Space H.d⊢ ((1 • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i) + 1 • (𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩) - (H.m * H.k * 2) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i - (𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩 + (I * ↑↑ℏ * (-1 / 2) + I * ↑↑ℏ * ↑H.d * (1 / 2)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i)) x✝¹) x✝ = ((𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i - (I * ↑↑ℏ * (-1 / 2) + I * ↑↑ℏ * ↑H.d * (1 / 2)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i) x✝¹) x✝ H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dx✝¹:𝓢(Space H.d, ℂ)x✝:Space H.d⊢ ((𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i) x✝¹) x✝ + ((𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩) x✝¹) x✝ - ↑H.m * ↑H.k * 2 * (↑((‖x✝‖ ^ 2 + ↑ε ^ 2) ^ (-1 / 2)) * (↑(x✝.val i) * x✝¹ x✝)) - (((𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩) x✝¹) x✝ + -((I * ↑↑ℏ * (-1 / 2) + I * ↑↑ℏ * ↑H.d * 2⁻¹) * (I * ↑↑ℏ * Space.deriv i (⇑x✝¹) x✝)) - ↑H.m * ↑H.k * (↑((‖x✝‖ ^ 2 + ↑ε ^ 2) ^ (-1 / 2)) * (↑(x✝.val i) * x✝¹ x✝))) = ((𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i) x✝¹) x✝ + (I * ↑↑ℏ * (-1 / 2) + I * ↑↑ℏ * ↑H.d * 2⁻¹) * (I * ↑↑ℏ * Space.deriv i (⇑x✝¹) x✝) - ↑H.m * ↑H.k * (↑((‖x✝‖ ^ 2 + ↑ε ^ 2) ^ (-1 / 2)) * (↑(x✝.val i) * x✝¹ x✝)) All goals completed! 🐙

⁅𝐋ᵢⱼ, 𝐀(ε)ₖ⁆ = iℏ(δᵢₖ𝐀(ε)ⱼ - δⱼₖ𝐀(ε)ᵢ)

@[sorryful] lemma declaration uses `sorry`angularMomentum_commutation_lrl (ε : ℝˣ) (i j k : Fin H.d) : ⁅𝐋 i j, H.lrlOperator ε k⁆ = (I * ℏ) • (δ[i,k] • H.lrlOperator ε j - δ[j,k] • H.lrlOperator ε i) := H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.dk:Fin H.d⊢ ⁅𝐋 i j, H.lrlOperator ε k⁆ = (I * ↑↑ℏ) • (δ[i,k] • H.lrlOperator ε j - δ[j,k] • H.lrlOperator ε i) All goals completed! 🐙

⁅𝐋ᵢⱼ, 𝐀(ε)²⁆ = 0

@[sorryful, simp] lemma angularMomentum_commutation_lrlSqr (ε : ℝˣ) (i j : Fin H.d) : ⁅𝐋 i j, H.lrlOperator ε ⬝ᵥ H.lrlOperator ε⁆ = 0 := H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ ⁅𝐋 i j, H.lrlOperator ε ⬝ᵥ H.lrlOperator ε⁆ = 0 All goals completed! 🐙

⁅𝐋², 𝐀(ε)²⁆ = 0

@[sorryful, simp] lemma angularMomentumSqr_commutation_lrlSqr (ε : ℝˣ) : ⁅𝐋²[H.d], H.lrlOperator ε ⬝ᵥ H.lrlOperator ε⁆ = 0 := H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ⁅𝐋², H.lrlOperator ε ⬝ᵥ H.lrlOperator ε⁆ = 0 All goals completed! 🐙
/- ## LRL / LRL commutators To compute the commutator `⁅𝐀ᵢ(ε), 𝐀ⱼ(ε)⁆` we take the following approach: - Write `𝐀(ε)ᵢ = 𝐱ᵢ𝐩² - (𝐱ⱼ𝐩ⱼ)𝐩ᵢ + ½iℏ(d-1)𝐩ᵢ - mk·𝐫(ε)⁻¹𝐱ᵢ ≕ f1ᵢ - f2ᵢ + f3ᵢ - f4ᵢ` - Organize the sixteen terms which result from expanding `⁅f1ᵢ-f2ᵢ+f3ᵢ-f4ᵢ, f1ⱼ-f2ⱼ+f3ⱼ-f4ⱼ⁆` into four diagonal terms such as `⁅f1ᵢ, f1ⱼ⁆` and six off-diagonal pairs such as `⁅f1ᵢ, f3ⱼ⁆ + ⁅f3ᵢ, f1ⱼ⁆ = ⁅f1ᵢ, f3ⱼ⁆ - ⁅f1ⱼ, f3ᵢ⁆`. - Compute the diagonal commutators and off-diagonal pairs individually. Many vanish, and those that don't are all of the form `iℏ (⋯) 𝐋ᵢⱼ` (as they must to be antisymmetric in `i,j`). - Collect terms. -/ private lemma positionDotMomentum_commutation_position {d : ℕ} (i : Fin d) : ⁅𝐱[d] ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆ = (-I * ℏ) • 𝐱 i := d:ℕi:Fin d⊢ ⁅𝐱 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆ = (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i d:ℕi:Fin d⊢ ⁅𝐱 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆ = ∑ j, 𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 j, 𝐱 i⁆d:ℕi:Fin d⊢ ∑ j, 𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 j, 𝐱 i⁆ = (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i d:ℕi:Fin d⊢ ⁅𝐱 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆ = ∑ j, 𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 j, 𝐱 i⁆ All goals completed! 🐙 simp_rw d:ℕi:Fin d⊢ ∑ j, 𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 j, 𝐱 i⁆ = (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 id:ℕi:Fin d⊢ ∑ x, 𝐱 x ∘SL (-⁅𝐱 i, 𝐩 x⁆) = (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i d:ℕi:Fin d⊢ ∑ x, 𝐱 x ∘SL (-((I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ))) = (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i d:ℕi:Fin d⊢ ∑ x, 𝐱 x ∘SL (-(I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)) = (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i d:ℕi:Fin d⊢ ∑ x, 𝐱 x ∘SL ((-I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)) = (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i d:ℕi:Fin d⊢ ∑ x, (-I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) = (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i d:ℕi:Fin d⊢ ∑ x, (-I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x = (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i d:ℕi:Fin d⊢ (-I * ↑↑ℏ) • ∑ x, δ[i,x] • 𝐱 x = (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i All goals completed! 🐙]private lemma positionDotMomentum_commutation_momentum {d : ℕ} (i : Fin d) : ⁅𝐱[d] ⬝ᵥ 𝐩, 𝐩 i⁆ = (I * ℏ) • 𝐩 i := d:ℕi:Fin d⊢ ⁅𝐱 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐩 i⁆ = (I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i d:ℕi:Fin d⊢ ⁅𝐱 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐩 i⁆ = ∑ j, ⁅𝐱 j, 𝐩 i⁆ ∘SL 𝐩 jd:ℕi:Fin d⊢ ∑ j, ⁅𝐱 j, 𝐩 i⁆ ∘SL 𝐩 j = (I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i d:ℕi:Fin d⊢ ⁅𝐱 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐩 i⁆ = ∑ j, ⁅𝐱 j, 𝐩 i⁆ ∘SL 𝐩 j All goals completed! 🐙 simp_rw d:ℕi:Fin d⊢ ∑ j, ⁅𝐱 j, 𝐩 i⁆ ∘SL 𝐩 j = (I * ↑↑ℏ) • 𝐩 id:ℕi:Fin d⊢ ∑ x, ((I * ↑↑ℏ) • δ[x,i] • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)) ∘SL 𝐩 x = (I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i d:ℕi:Fin d⊢ ∑ x, (I * ↑↑ℏ) • δ[x,i] • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) ∘SL 𝐩 x = (I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i d:ℕi:Fin d⊢ ∑ x, (I * ↑↑ℏ) • δ[x,i] • 𝐩 x = (I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i d:ℕi:Fin d⊢ (I * ↑↑ℏ) • ∑ x, δ[x,i] • 𝐩 x = (I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i d:ℕi:Fin d⊢ (I * ↑↑ℏ) • ∑ x, δ[i,x] • 𝐩 x = (I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i All goals completed! 🐙]d:ℕ⊢ ⁅∑ i, 𝐱 i * 𝐩 i, 𝐩 ⬝ᵥ 𝐩⁆ = ∑ i, ⁅𝐱 i, 𝐩 ⬝ᵥ 𝐩⁆ ∘SL 𝐩 i All goals completed! 🐙 simp_rw d:ℕ⊢ ∑ i, ⁅𝐱 i, 𝐩 ⬝ᵥ 𝐩⁆ ∘SL 𝐩 i = (2 * I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)d:ℕ⊢ ∑ x, ((2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐩 x) ∘SL 𝐩 x = (2 * I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) d:ℕ⊢ ∑ x, (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐩 x ∘SL 𝐩 x = (2 * I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) d:ℕ⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x = (2 * I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) d:ℕ⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x = (2 * I * ↑↑ℏ) • ∑ i, 𝐩 i * 𝐩 i All goals completed! 🐙]private lemma positionDotMomentum_commutation_radiusRegPow (d : ℕ) (ε : ℝˣ) (s : ℝ) : ⁅𝐱[d] ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀[d] ε s⁆ = (-s * I * ℏ) • (𝐫₀ ε s - ε.1 ^ 2 • 𝐫₀ ε (s-2)) := d:ℕε:ℝˣs:ℝ⊢ ⁅𝐱 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε s⁆ = (-↑s * I * ↑↑ℏ) • (𝐫₀ ε s - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (s - 2)) calc _ = ∑ i, 𝐱 i ∘L ⁅𝐩 i, 𝐫₀ ε s⁆ := d:ℕε:ℝˣs:ℝ⊢ ⁅𝐱 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε s⁆ = ∑ i, 𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 i, 𝐫₀ ε s⁆ All goals completed! 🐙 _ = (-s * I * ℏ) • (∑ i, 𝐱 i ∘L 𝐱 i) ∘L 𝐫₀ ε (s-2) := d:ℕε:ℝˣs:ℝ⊢ ∑ i, 𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 i, 𝐫₀ ε s⁆ = (-↑s * I * ↑↑ℏ) • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐫₀ ε (s - 2) All goals completed! 🐙 _ = (-s * I * ℏ) • (𝐫₀ ε s - ε.1 ^ 2 • 𝐫₀ ε (s-2)) := d:ℕε:ℝˣs:ℝ⊢ (-↑s * I * ↑↑ℏ) • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐫₀ ε (s - 2) = (-↑s * I * ↑↑ℏ) • (𝐫₀ ε s - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (s - 2)) All goals completed! 🐙All goals completed! 🐙d:ℕi:Fin dj:Fin d⊢ ∀ (k l : Fin d), ⁅𝐱 k ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 l⁆ = (-I * ↑↑ℏ) • (𝐱 k ∘SL 𝐩 l - δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ ⁅𝐱 k ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 l⁆ = (-I * ↑↑ℏ) • (𝐱 k ∘SL 𝐩 l - δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) calc _ = (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘L ⁅𝐱 k, 𝐩 l⁆ ∘L (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + 𝐱 k ∘L ⁅𝐩[d] ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱[d] ⬝ᵥ 𝐩⁆ ∘L 𝐩 l + ⁅𝐱 k, 𝐱[d] ⬝ᵥ 𝐩⁆ ∘L (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘L 𝐩 l := d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ ⁅𝐱 k ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 l⁆ = (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL ⁅𝐱 k, 𝐩 l⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + 𝐱 k ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 ⬝ᵥ 𝐩⁆ ∘SL 𝐩 l + ⁅𝐱 k, 𝐱 ⬝ᵥ 𝐩⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 l All goals completed! 🐙 _ = (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘L ⁅𝐱 k, 𝐩 l⁆ ∘L (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + (-I * ℏ) • 𝐱 k ∘L 𝐩 l ∘L (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) := d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL ⁅𝐱 k, 𝐩 l⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + 𝐱 k ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 ⬝ᵥ 𝐩⁆ ∘SL 𝐩 l + ⁅𝐱 k, 𝐱 ⬝ᵥ 𝐩⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 l = (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL ⁅𝐱 k, 𝐩 l⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL ⁅𝐱 k, 𝐩 l⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + (-2 * I * ↑↑ℏ + - -I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) = (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL ⁅𝐱 k, 𝐩 l⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) All goals completed! 🐙 _ = (-I * ℏ) • (𝐱 k ∘L 𝐩 l - δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘L (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) := d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL ⁅𝐱 k, 𝐩 l⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) = (-I * ↑↑ℏ) • (𝐱 k ∘SL 𝐩 l - δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) simp_rw d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL ⁅𝐱 k, 𝐩 l⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) = (-I * ↑↑ℏ) • (𝐱 k ∘SL 𝐩 l - δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL ((I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) = (-I * ↑↑ℏ) • (𝐱 k ∘SL 𝐩 l - δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL ((I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) = (-I * ↑↑ℏ) • ((𝐱 k ∘SL 𝐩 l) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)) d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL ((I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) = (-I * ↑↑ℏ) • (𝐱 k ∘SL 𝐩 l) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (-I * ↑↑ℏ) • (δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL ((I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)) + (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) = (-I * ↑↑ℏ) • (𝐱 k ∘SL 𝐩 l) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (-I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ (I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) = (-I * ↑↑ℏ) • (𝐱 k ∘SL 𝐩 l) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (-I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ (I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) = (-I * ↑↑ℏ) • (𝐱 k ∘SL 𝐩 l) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (-I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ (I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) = (-I * ↑↑ℏ) • (𝐱 k ∘SL 𝐩 l) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + -((-I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)) d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ (I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + (-I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) = (-I * ↑↑ℏ) • (𝐱 k ∘SL 𝐩 l) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + -(-I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ (I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + -(I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) = -(I * ↑↑ℏ) • (𝐱 k ∘SL 𝐩 l) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + - -(I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ (I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + -(I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) = -(I * ↑↑ℏ) • (𝐱 k ∘SL 𝐩 l) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + (I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin dl:Fin d⊢ (I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + -(I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) = -(I * ↑↑ℏ) • 𝐱 k ∘SL 𝐩 l ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) + (I * ↑↑ℏ) • δ[k,l] • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) All goals completed! 🐙]private lemma positionDotMomentumCompMomentum_comm {d : ℕ} (i j : Fin d) : ⁅(𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘L 𝐩 i, (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘L 𝐩 j⁆ = 0 := d:ℕi:Fin dj:Fin d⊢ ⁅(𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 i, (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 j⁆ = 0 All goals completed! 🐙private lemma positionCompMomentumSqr_comm_momentum_add {d : ℕ} (i j : Fin d) : ⁅𝐱 i ∘L (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐩 j⁆ + ⁅𝐩 i, 𝐱 j ∘L (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)⁆ = 0 := d:ℕi:Fin dj:Fin d⊢ ⁅𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐩 j⁆ + ⁅𝐩 i, 𝐱 j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)⁆ = 0 nth_rw 2 [d:ℕi:Fin dj:Fin d⊢ ⁅𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐩 j⁆ + -⁅𝐱 j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐩 i⁆ = 0d:ℕi:Fin dj:Fin d⊢ ⁅𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐩 j⁆ + -⁅𝐱 j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐩 i⁆ = 0 All goals completed! 🐙private lemma positionDotMomentumCompMomentum_comm_momentum_add {d : ℕ} (i j : Fin d) : ⁅(𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘L 𝐩 i, 𝐩 j⁆ + ⁅𝐩 i, (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘L 𝐩 j⁆ = 0 := d:ℕi:Fin dj:Fin d⊢ ⁅(𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 i, 𝐩 j⁆ + ⁅𝐩 i, (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 j⁆ = 0 nth_rw 2 [d:ℕi:Fin dj:Fin d⊢ ⁅(𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 i, 𝐩 j⁆ + -⁅(𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 j, 𝐩 i⁆ = 0d:ℕi:Fin dj:Fin d⊢ ⁅(𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 i, 𝐩 j⁆ + -⁅(𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐩 j, 𝐩 i⁆ = 0 All goals completed! 🐙d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ ⁅𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 j⁆ + ⁅𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i, 𝐱 j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)⁆ = (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j calc _ = 𝐫₀ ε (-1) ∘L 𝐱 i ∘L ⁅𝐩[d] ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 j⁆ + 𝐱 i ∘L A ∘L 𝐱 j - (𝐫₀ ε (-1) ∘L 𝐱 j ∘L ⁅𝐩[d] ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆ + 𝐱 j ∘L A ∘L 𝐱 i) := d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ ⁅𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 j⁆ + ⁅𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i, 𝐱 j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)⁆ = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 j⁆ + 𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j - (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆ + 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i) nth_rw 2 [d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ ⁅𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 j⁆ + -⁅𝐱 j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i⁆ = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 j⁆ + 𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j - (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆ + 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i)d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ ⁅𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 j⁆ + -⁅𝐱 j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i⁆ = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 j⁆ + 𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j - (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆ + 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i) simp_rw d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ ⁅𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 j⁆ + -⁅𝐱 j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i⁆ = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 j⁆ + 𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j - (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆ + 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i)d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ ⁅𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 j⁆ - ⁅𝐱 j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i⁆ = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 j⁆ + 𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j - (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆ + 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ⁅𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐱 j⁆ + ⁅𝐱 i ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐫₀ ε (-1)⁆ ∘SL 𝐱 j - (𝐫₀ ε (-1) ∘SL ⁅𝐱 j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐱 i⁆ + ⁅𝐱 j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩), 𝐫₀ ε (-1)⁆ ∘SL 𝐱 i) = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 j⁆ + 𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j - (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆ + 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 j⁆ + ⁅𝐱 i, 𝐱 j⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)) + (𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆ + ⁅𝐱 i, 𝐫₀ ε (-1)⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL 𝐱 j - (𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆ + ⁅𝐱 j, 𝐱 i⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)) + (𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆ + ⁅𝐱 j, 𝐫₀ ε (-1)⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL 𝐱 i) = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 j⁆ + 𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j - (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆ + 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 j⁆ + ⁅𝐱 i, 𝐱 j⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)) + (𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆ + ⁅𝐱 i, 𝐫₀ ε (-1)⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL 𝐱 j - 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆ + ⁅𝐱 j, 𝐱 i⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)) - (𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆ + ⁅𝐱 j, 𝐫₀ ε (-1)⁆ ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL 𝐱 i = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 j⁆ + 𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j - 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆ - 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i] All goals completed! 🐙 _ = 𝐫₀ ε (-1) ∘L (𝐱 i ∘L ⁅𝐩[d] ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 j⁆ - 𝐱 j ∘L ⁅𝐩[d] ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆) := d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 j⁆ + 𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j - (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆ + 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i) = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 j⁆ - 𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆) All goals completed! 🐙 _ = (-2 * I * ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘L 𝐋 i j := d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 j⁆ - 𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆) = (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j simp_rw d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 i ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 j⁆ - 𝐱 j ∘SL ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐱 i⁆) = (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i jd:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 i ∘SL (-⁅𝐱 j, 𝐩 ⬝ᵥ 𝐩⁆) - 𝐱 j ∘SL (-⁅𝐱 i, 𝐩 ⬝ᵥ 𝐩⁆)) = (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 i ∘SL (-((2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐩 j)) - 𝐱 j ∘SL (-((2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i))) = (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (-𝐱 i ∘SL ((2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐩 j) - -𝐱 j ∘SL ((2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐩 i)) = (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (-((2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i ∘SL 𝐩 j) - -((2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐱 j ∘SL 𝐩 i)) = (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (-(2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i ∘SL 𝐩 j - -(2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐱 j ∘SL 𝐩 i) = (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ((-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i ∘SL 𝐩 j - (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐱 j ∘SL 𝐩 i) = (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ((-2 * I * ↑↑ℏ) • (𝐱 i ∘SL 𝐩 j - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i)) = (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dA:𝓢(Space d, ℂ) →L[ℂ] 𝓢(Space d, ℂ) := ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1)⁆hA:𝐱 i ∘SL A ∘SL 𝐱 j = 𝐱 j ∘SL A ∘SL 𝐱 i⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 i ∘SL 𝐩 j - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i) = (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j All goals completed! 🐙]private lemma momentum_comm_radiusRegPow_position_symm {d : ℕ} (ε : ℝˣ) (s : ℝ) (i j : Fin d) : ⁅𝐩 i, 𝐫₀ ε s ∘L 𝐱 j⁆ = ⁅𝐩 j, 𝐫₀ ε s ∘L 𝐱 i⁆ := d:ℕε:ℝˣs:ℝi:Fin dj:Fin d⊢ ⁅𝐩 i, 𝐫₀ ε s ∘SL 𝐱 j⁆ = ⁅𝐩 j, 𝐫₀ ε s ∘SL 𝐱 i⁆ All goals completed! 🐙d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin d⊢ ∀ (k : Fin d), ⁅𝐱 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 k⁆ = (-I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 k d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ ⁅𝐱 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 k⁆ = (-I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 k calc _ = -(I * ℏ) • (ε.1 ^ 2) • 𝐫₀ ε (-1-2) ∘L 𝐱 k := d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ ⁅𝐱 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 k⁆ = -(I * ↑↑ℏ) • ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-1 - 2) ∘SL 𝐱 k All goals completed! 🐙 _ = (-I * ℏ * ε.1 ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘L 𝐱 k := d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ -(I * ↑↑ℏ) • ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-1 - 2) ∘SL 𝐱 k = (-I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 k d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ (-(I * ↑↑ℏ) * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-1 - 2) ∘SL 𝐱 k = (-I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 k All goals completed! 🐙All goals completed! 🐙private lemma radiusRegInvCompPosition_comm {d : ℕ} (ε : ℝˣ) (i j : Fin d) : ⁅𝐫₀ ε (-1) ∘L 𝐱 i, 𝐫₀ ε (-1) ∘L 𝐱 j⁆ = 0 := d:ℕε:ℝˣi:Fin dj:Fin d⊢ ⁅𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 j⁆ = 0 All goals completed! 🐙

⁅𝐀(ε)ᵢ, 𝐀(ε)ⱼ⁆ = (-2iℏm·𝐇(ε) + iℏmkε²·𝐫(ε)⁻³)𝐋ᵢⱼ

H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.dc₁:ℂ := 2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)c₂:ℂ := ↑H.m * ↑H.k⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j + 0 + c₂ ^ 2 • 0 - (-I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j + c₁ • 0 - c₂ • (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j - c₁ • 0 + c₂ • (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j - (c₁ * c₂) • 0 = ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m) • H.hamiltonianRegCLM ε + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐋 i j H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j + 0 + (↑H.m * ↑H.k) ^ 2 • 0 - (-I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 0 - (↑H.m * ↑H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 0 + (↑H.m * ↑H.k) • (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1) * (↑H.m * ↑H.k)) • 0 = ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m) • H.hamiltonianRegCLM ε + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐋 i j simp_rw H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j + 0 + (↑H.m * ↑H.k) ^ 2 • 0 - (-I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 0 - (↑H.m * ↑H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 0 + (↑H.m * ↑H.k) • (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1) * (↑H.m * ↑H.k)) • 0 = ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m) • H.hamiltonianRegCLM ε + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐋 i jH:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j + 0 + (↑H.m * ↑H.k) ^ 2 • 0 - (-I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 0 - (↑H.m * ↑H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 0 + (↑H.m * ↑H.k) • (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1) * (↑H.m * ↑H.k)) • 0 = ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m) • ((2 * H.m)⁻¹ • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - H.k • 𝐫₀ ε (-1)) + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐋 i j H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j + 0 + 0 - (-I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j + 0 - (↑H.m * ↑H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j - 0 + (↑H.m * ↑H.k) • (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j - 0 = ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m) • ((2 * H.m)⁻¹ • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - H.k • 𝐫₀ ε (-1)) + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐋 i j H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - (-I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - (↑H.m * ↑H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j - 0 + (↑H.m * ↑H.k) • (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j - 0 = ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m) • ((2 * H.m)⁻¹ • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - H.k • 𝐫₀ ε (-1)) + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐋 i j H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - (-I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - (↑H.m * ↑H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j + (↑H.m * ↑H.k) • (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j = ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m) • ((2 * H.m)⁻¹ • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - H.k • 𝐫₀ ε (-1)) + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐋 i j H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ - -I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - (↑H.m * ↑H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j + (↑H.m * ↑H.k) • (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j = ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m) • ((2 * H.m)⁻¹ • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - H.k • 𝐫₀ ε (-1)) + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐋 i j H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ - -I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - (↑H.m * ↑H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j + (↑H.m * ↑H.k) • (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j = ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m) • (↑(2 * H.m)⁻¹ • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - ↑H.k • 𝐫₀ ε (-1)) + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐋 i j H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ - -I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - (↑H.m * ↑H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j + (↑H.m * ↑H.k) • (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j = ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m) • ((↑(2 * H.m))⁻¹ • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - ↑H.k • 𝐫₀ ε (-1)) + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐋 i j H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ - -I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - (↑H.m * ↑H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j + (↑H.m * ↑H.k) • (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j = ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m) • ((↑2 * ↑H.m)⁻¹ • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - ↑H.k • 𝐫₀ ε (-1)) + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐋 i j H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ - -I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - (↑H.m * ↑H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j + (↑H.m * ↑H.k) • (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j = ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m) • ((2 * ↑H.m)⁻¹ • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - ↑H.k • 𝐫₀ ε (-1)) + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐋 i j H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ - -I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - (↑H.m * ↑H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j + (↑H.m * ↑H.k) • (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j = ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m) • (2 * ↑H.m)⁻¹ • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m) • ↑H.k • 𝐫₀ ε (-1) + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐋 i j H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ - -I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - (↑H.m * ↑H.k * (-2 * I * ↑↑ℏ)) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j + (↑H.m * ↑H.k * (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j = ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m * (2 * ↑H.m)⁻¹) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k) • 𝐫₀ ε (-1) + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐋 i j H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ - -I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - (↑H.m * ↑H.k * (-2 * I * ↑↑ℏ)) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j + (↑H.m * ↑H.k * (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j = ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m * (2 * ↑H.m)⁻¹) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) - (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k) • 𝐫₀ ε (-1)) ∘SL 𝐋 i j + ((I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐋 i j H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ - -I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - (↑H.m * ↑H.k * (-2 * I * ↑↑ℏ)) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j + (↑H.m * ↑H.k * (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j = ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m * (2 * ↑H.m)⁻¹) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL 𝐋 i j - ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k) • 𝐫₀ ε (-1)) ∘SL 𝐋 i j + ((I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐋 i j H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ (-2 * I * ↑↑ℏ - -I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - (↑H.m * ↑H.k * (-2 * I * ↑↑ℏ)) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j + (↑H.m * ↑H.k * (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j = (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m * (2 * ↑H.m)⁻¹) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j] H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dj:Fin H.d⊢ -(I * ↑↑ℏ) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - -(I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * 2) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j = -(I * ↑↑ℏ * ↑H.m * (↑H.m)⁻¹) • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j - -(I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * 2) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋 i j + (I * ↑↑ℏ * ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i j All goals completed! 🐙
/- ## Hamiltonian / LRL vector commutators -/ private lemma pSqr_comm_pL_Lp {d : ℕ} (i : Fin d) : ⁅𝐩[d] ⬝ᵥ 𝐩, 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩⁆ = 0 := d:ℕi:Fin d⊢ ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩⁆ = 0 d:ℕi:Fin d⊢ ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, ∑ j, 𝐩 j ∘SL 𝐋 i j + ∑ j, 𝐋 i j ∘SL 𝐩 j⁆ = 0 All goals completed! 🐙private lemma r_comm_rx {d : ℕ} (ε : ℝˣ) (i : Fin d) : ⁅𝐫₀[d] ε (-1), 𝐫₀ ε (-1) ∘L 𝐱 i⁆ = 0 := d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ⁅𝐫₀ ε (-1), 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i⁆ = 0 All goals completed! 🐙private lemma xL_Lx_eq {d : ℕ} (ε : ℝˣ) (i : Fin d) : 𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱 = (2 : ℝ) • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘L 𝐱 i + (-I * ℏ * (d - 3)) • 𝐱 i + ((-2 : ℝ) • 𝐫₀ ε 2 ∘L 𝐩 i + (2 * ε.1 ^ 2 : ℝ) • 𝐩 i) := d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ 𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱 = 2 • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) -- Change summand simp_rw d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ 𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱 = 2 • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ i_1, 𝐱 i_1 * 𝐋 i i_1 + ∑ i_1, 𝐋 i i_1 * 𝐱 i_1 = 2 • (∑ i, 𝐱 i * 𝐩 i) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐋 i x + ∑ x, 𝐋 i x ∘SL 𝐱 x = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (𝐱 x ∘SL 𝐋 i x + 𝐋 i x ∘SL 𝐱 x) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (𝐱 x ∘SL (𝐱 i ∘SL 𝐩 x - 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) + (𝐱 i ∘SL 𝐩 x - 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐱 x) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (𝐱 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x - 𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i + (𝐱 i ∘SL 𝐩 x - 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐱 x) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (𝐱 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x - 𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i + ((𝐱 i ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 x - (𝐱 x ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐱 x)) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (𝐱 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x - 𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i + (𝐱 i ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐱 x - 𝐱 x ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐱 x)) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (𝐱 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x + 𝐱 i ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐱 x - (𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i + 𝐱 x ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐱 x)) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (𝐱 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x + 𝐱 i ∘SL (𝐱 x ∘SL 𝐩 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)) - (𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i + 𝐱 x ∘SL (𝐱 x ∘SL 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,i] • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)))) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (𝐱 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x + (𝐱 i ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 x - 𝐱 i ∘SL ((I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ))) - (𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i + (𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i - 𝐱 x ∘SL ((I * ↑↑ℏ) • δ[x,i] • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ))))) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (𝐱 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x + (𝐱 i ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)) - (𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i + (𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,i] • 𝐱 x ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)))) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (𝐱 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x + (𝐱 i ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i) - (𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i + (𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,i] • 𝐱 x))) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, ((𝐱 x ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 x + ((𝐱 i ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i) - ((𝐱 x ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i + ((𝐱 x ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,i] • 𝐱 x))) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, ((𝐱 x ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 x + ((𝐱 x ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i) - ((𝐱 x ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i + ((𝐱 x ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,i] • 𝐱 x))) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, ((𝐱 x ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 x + (𝐱 x ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i - ((𝐱 x ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i + (𝐱 x ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,i] • 𝐱 x)) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (2 • (𝐱 x ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i - (2 • (𝐱 x ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,i] • 𝐱 x)) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (2 • (𝐱 x ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i + (I * ↑↑ℏ) • δ[x,i] • 𝐱 x - 2 • (𝐱 x ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (2 • (𝐱 x ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 x + (I * ↑↑ℏ) • δ[x,i] • 𝐱 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i - 2 • (𝐱 x ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (2 • 𝐱 x ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 x + (I * ↑↑ℏ) • δ[x,i] • 𝐱 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i - 2 • 𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (2 • 𝐱 x ∘SL (𝐩 x ∘SL 𝐱 i + ⁅𝐱 i, 𝐩 x⁆) + (I * ↑↑ℏ) • δ[x,i] • 𝐱 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i - 2 • 𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (2 • 𝐱 x ∘SL (𝐩 x ∘SL 𝐱 i + (I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)) + (I * ↑↑ℏ) • δ[x,i] • 𝐱 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i - 2 • 𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (2 • 𝐱 x ∘SL (𝐩 x ∘SL 𝐱 i + (I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)) + (I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i - 2 • 𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (2 • (𝐱 x ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐱 i + 𝐱 x ∘SL ((I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ))) + (I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i - 2 • 𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (2 • (𝐱 x ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐱 i + (I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)) + (I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i - 2 • 𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (2 • 𝐱 x ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐱 i + 2 • (I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) + (I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i - 2 • 𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (2 • 𝐱 x ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐱 i + 2 • (I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x + (I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i - 2 • 𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (2 • 𝐱 x ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐱 i + (2 • (I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x + (I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x) - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i - 2 • 𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) = 2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (↑2 • 𝐱 x ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐱 i + (↑2 • (I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x + (I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x) - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i - ↑2 • 𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (↑2 • 𝐱 x ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐱 i + ((↑2 * (I * ↑↑ℏ)) • δ[i,x] • 𝐱 x + (I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x) - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i - ↑2 • 𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (↑2 • 𝐱 x ∘SL 𝐩 x ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i - ↑2 • 𝐱 x ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 i) = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (↑2 • (𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x - (I * ↑↑ℏ) • δ[x,x] • 𝐱 i - ↑2 • (𝐱 x ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i) = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (↑2 • (𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x - (I * ↑↑ℏ) • 1 • 𝐱 i - ↑2 • (𝐱 x ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i) = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (↑2 • (𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x - (I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - ↑2 • (𝐱 x ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i) = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i))] -- Split/do sums simp_rw d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (↑2 • (𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x - (I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - ↑2 • (𝐱 x ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i) = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i))d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, (↑2 • (𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x) - ∑ x, (I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - ∑ x, ↑2 • (𝐱 x ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ x, ↑2 • (𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ∑ x, (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • δ[i,x] • 𝐱 x - ∑ x, (I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - ∑ x, ↑2 • (𝐱 x ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ↑2 • ∑ x, (𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • ∑ x, δ[i,x] • 𝐱 x - (I * ↑↑ℏ) • ∑ x, 𝐱 i - ↑2 • ∑ x, (𝐱 x ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • ∑ x, δ[i,x] • 𝐱 x - (I * ↑↑ℏ) • ∑ x, 𝐱 i - ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 i = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - (I * ↑↑ℏ) • ∑ x, 𝐱 i - ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 i = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - (I * ↑↑ℏ) • Finset.univ.card • 𝐱 i - ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 i = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - (I * ↑↑ℏ) • Fintype.card (Fin d) • 𝐱 i - ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 i = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - (I * ↑↑ℏ) • d • 𝐱 i - ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 i = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - (I * ↑↑ℏ) • ↑d • 𝐱 i - ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐱 i) ∘SL 𝐩 i = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - (I * ↑↑ℏ) • ↑d • 𝐱 i - ↑2 • (𝐫₀ ε 2 - ↑ε ^ 2 • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)) ∘SL 𝐩 i = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - (I * ↑↑ℏ) • ↑d • 𝐱 i - ↑2 • (𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i - (↑ε ^ 2 • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)) ∘SL 𝐩 i) = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - (I * ↑↑ℏ) • ↑d • 𝐱 i - ↑2 • (𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i - ↑ε ^ 2 • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) ∘SL 𝐩 i) = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - (I * ↑↑ℏ) • ↑d • 𝐱 i - ↑2 • (𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i - ↑ε ^ 2 • 𝐩 i) = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - (I * ↑↑ℏ) • ↑d • 𝐱 i - (↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i - ↑2 • ↑ε ^ 2 • 𝐩 i) = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i))] -- Clean up coefficients simp_rw d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐱 i + (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - (I * ↑↑ℏ) • ↑d • 𝐱 i - (↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i - ↑2 • ↑ε ^ 2 • 𝐩 i) = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i))d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ↑2 • (∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐱 i + ((↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - (I * ↑↑ℏ) • ↑d • 𝐱 i - (↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i - ↑2 • ↑ε ^ 2 • 𝐩 i)) = ↑2 • (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 i + ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - (I * ↑↑ℏ) • ↑d • 𝐱 i - (↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i - ↑2 • ↑ε ^ 2 • 𝐩 i) = (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐱 i - (I * ↑↑ℏ * ↑d) • 𝐱 i - (↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i - ↑2 • ↑ε ^ 2 • 𝐩 i) = (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ - I * ↑↑ℏ * ↑d) • 𝐱 i - (↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i - ↑2 • ↑ε ^ 2 • 𝐩 i) = (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ + -(I * ↑↑ℏ * ↑d)) • 𝐱 i + -(↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + -(↑2 • ↑ε ^ 2 • 𝐩 i)) = (-I * ↑↑ℏ * (↑d + -3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ + -(I * ↑↑ℏ * ↑d)) • 𝐱 i + (-(↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i) + - -(↑2 • ↑ε ^ 2 • 𝐩 i)) = (-I * ↑↑ℏ * (↑d + -3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ + -(I * ↑↑ℏ * ↑d)) • 𝐱 i + (-↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + - -↑2 • ↑ε ^ 2 • 𝐩 i) = (-I * ↑↑ℏ * (↑d + -3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ + -(I * ↑↑ℏ * ↑d)) • 𝐱 i + (-↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + - -↑2 • ↑(↑ε ^ 2) • 𝐩 i) = (-I * ↑↑ℏ * (↑d + -3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ + -(I * ↑↑ℏ * ↑d)) • 𝐱 i + (-↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (- -↑2 * ↑(↑ε ^ 2)) • 𝐩 i) = (-I * ↑↑ℏ * (↑d + -3)) • 𝐱 i + (↑(-2) • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ + -(I * ↑↑ℏ * ↑d)) • 𝐱 i + (-↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (- -↑2 * ↑(↑ε ^ 2)) • 𝐩 i) = (-I * ↑↑ℏ * (↑d + -3)) • 𝐱 i + (-↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ + -(I * ↑↑ℏ * ↑d)) • 𝐱 i + (-↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (- -↑2 * ↑(↑ε ^ 2)) • 𝐩 i) = (-I * ↑↑ℏ * (↑d + -3)) • 𝐱 i + (-↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (↑2 * ↑(↑ε ^ 2)) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (↑2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ + -(I * ↑↑ℏ * ↑d)) • 𝐱 i + (-↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (- -↑2 * ↑↑ε ^ 2) • 𝐩 i) = (-I * ↑↑ℏ * (↑d + -3)) • 𝐱 i + (-↑2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (↑2 * ↑↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ + -(I * ↑↑ℏ * ↑d)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (- -2 * ↑↑ε ^ 2) • 𝐩 i) = (-I * ↑↑ℏ * (↑d + -3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑↑ε ^ 2) • 𝐩 i) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * (I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ + -(I * ↑↑ℏ * ↑d)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑↑ε ^ 2) • 𝐩 i) = (-I * ↑↑ℏ * (↑d + -3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑↑ε ^ 2) • 𝐩 i)] All goals completed! 🐙d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + (↑ℏ ^ 2 * (↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i = (I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱) + (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i simp_rw d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + (↑ℏ ^ 2 * (↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i = (I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱) + (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 id:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + (↑ℏ ^ 2 * (↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i = (I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (2 • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i)) + (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + (↑ℏ ^ 2 * (↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i = (I * ↑↑ℏ) • (𝐫₀ ε (-3) ∘SL (2 • (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i) + 𝐫₀ ε (-3) ∘SL ((-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐱 i) + (𝐫₀ ε (-3) ∘SL (-2 • 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i) + 𝐫₀ ε (-3) ∘SL ((2 * ↑ε ^ 2) • 𝐩 i))) + (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + (↑ℏ ^ 2 * (↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i = (I * ↑↑ℏ) • (2 • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i)) + (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + (↑ℏ ^ 2 * (↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i = (I * ↑↑ℏ) • 2 • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + (I * ↑↑ℏ) • (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ) • -2 • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (I * ↑↑ℏ) • (2 * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i) + (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ↑(↑ℏ ^ 2 * (↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i = (I * ↑↑ℏ) • ↑2 • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + (I * ↑↑ℏ) • (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ) • ↑(-2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (I * ↑↑ℏ) • ↑(2 * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i) + (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ↑(↑ℏ ^ 2 * (↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i = (I * ↑↑ℏ * ↑2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + (I * ↑↑ℏ * (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3))) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * ↑(-2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐫₀ ε 2 ∘SL 𝐩 i + (I * ↑↑ℏ * ↑(2 * ↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i) + (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • (𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL 𝐱 i + ↑(↑ℏ ^ 2 * (↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i = (I * ↑↑ℏ * ↑2) • (𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL 𝐱 i + (I * ↑↑ℏ * (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3))) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * ↑(-2)) • (𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐫₀ ε 2) ∘SL 𝐩 i + (I * ↑↑ℏ * ↑(2 * ↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i) + (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • (𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL 𝐱 i + ↑(↑ℏ ^ 2 * (↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i = (I * ↑↑ℏ * ↑2) • (𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL 𝐱 i + (I * ↑↑ℏ * (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3))) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * ↑(-2)) • 𝐫₀ ε (-3 + 2) ∘SL 𝐩 i + (I * ↑↑ℏ * ↑(2 * ↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i) + (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ↑(↑ℏ ^ 2 * (↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i = (I * ↑↑ℏ * ↑2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + (I * ↑↑ℏ * (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3))) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * ↑(-2)) • 𝐫₀ ε (-3 + 2) ∘SL 𝐩 i + (I * ↑↑ℏ * ↑(2 * ↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i) + (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + (↑(↑ℏ ^ 2 * (↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i) = (I * ↑↑ℏ * ↑2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3))) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * ↑(-2)) • 𝐫₀ ε (-3 + 2) ∘SL 𝐩 i + ((I * ↑↑ℏ * ↑(2 * ↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i))) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + (↑(↑ℏ ^ 2 * (↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i) = (I * ↑↑ℏ * ↑2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3))) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * ↑(-2)) • 𝐫₀ ε (-3 + 2) ∘SL 𝐩 i + (I * ↑↑ℏ * ↑(2 * ↑ε ^ 2) + -2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ((↑(↑ℏ ^ 2) * ↑(↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i) = (I * ↑↑ℏ * ↑2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3))) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * ↑(-2)) • 𝐫₀ ε (-3 + 2) ∘SL 𝐩 i + (I * ↑↑ℏ * (↑2 * ↑(↑ε ^ 2)) + -2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ((↑(↑ℏ ^ 2) * (↑↑d - ↑3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i) = (I * ↑↑ℏ * ↑2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3))) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * ↑(-2)) • 𝐫₀ ε (-3 + 2) ∘SL 𝐩 i + (I * ↑↑ℏ * (↑2 * ↑(↑ε ^ 2)) + -2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ((↑(↑ℏ ^ 2) * (↑↑d - ↑3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i) = (I * ↑↑ℏ * ↑2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3))) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * -↑2) • 𝐫₀ ε (-3 + 2) ∘SL 𝐩 i + (I * ↑↑ℏ * (↑2 * ↑(↑ε ^ 2)) + -2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ((↑↑ℏ ^ 2 * (↑↑d - ↑3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i) = (I * ↑↑ℏ * ↑2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3))) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * -↑2) • 𝐫₀ ε (-3 + 2) ∘SL 𝐩 i + (I * ↑↑ℏ * (↑2 * ↑↑ε ^ 2) + -2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ((↑↑ℏ ^ 2 * (↑↑d - 3)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-2 * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i) = (I * ↑↑ℏ * 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * (-I * ↑↑ℏ * (↑d - 3))) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + ((I * ↑↑ℏ * -2) • 𝐫₀ ε (-3 + 2) ∘SL 𝐩 i + (I * ↑↑ℏ * (2 * ↑↑ε ^ 2) + -2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i))] d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (I * ↑↑ℏ * 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ((-(↑↑ℏ ^ 2 * 3) + ↑↑ℏ ^ 2 * ↑↑d) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + -(I * ↑↑ℏ * 2) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i) = (I * ↑↑ℏ * 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐱 i + ((I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * 3 - I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑d) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i + (-(I * ↑↑ℏ * 2) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i + 0 • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i)) All goals completed! 🐙private lemma r_comm_pL_Lp {d : ℕ} (ε : ℝˣ) (i : Fin d) : ⁅𝐫₀[d] ε (-1), 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩⁆ = -((I * ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘L (𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱)) := d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ⁅𝐫₀ ε (-1), 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩⁆ = -((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱)) calc _ = ∑ j, (⁅𝐫₀[d] ε (-1), 𝐩 j⁆ ∘L 𝐋 i j + 𝐋 i j ∘L ⁅𝐫₀[d] ε (-1), 𝐩 j⁆) := d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ⁅𝐫₀ ε (-1), 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩⁆ = ∑ j, (⁅𝐫₀ ε (-1), 𝐩 j⁆ ∘SL 𝐋 i j + 𝐋 i j ∘SL ⁅𝐫₀ ε (-1), 𝐩 j⁆) All goals completed! 🐙 _ = -((I * ℏ) • ∑ j, (𝐫₀ ε (-3) ∘L 𝐱 j ∘L 𝐋 i j + (𝐋 i j ∘L 𝐫₀ ε (-3)) ∘L 𝐱 j)) := d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ ∑ j, (⁅𝐫₀ ε (-1), 𝐩 j⁆ ∘SL 𝐋 i j + 𝐋 i j ∘SL ⁅𝐫₀ ε (-1), 𝐩 j⁆) = -((I * ↑↑ℏ) • ∑ j, (𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 j ∘SL 𝐋 i j + (𝐋 i j ∘SL 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐱 j)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ (-1 * I * ↑↑ℏ) • ∑ x, (𝐫₀ ε (-1 - 2) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐋 i x + 𝐋 i x ∘SL 𝐫₀ ε (-1 - 2) ∘SL 𝐱 x) = -(I * ↑↑ℏ) • ∑ x, (𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐋 i x + 𝐋 i x ∘SL 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 x) All goals completed! 🐙 _ = -((I * ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘L (𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱)) := d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ -((I * ↑↑ℏ) • ∑ j, (𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 j ∘SL 𝐋 i j + (𝐋 i j ∘SL 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐱 j)) = -((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱)) simp_rw d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ -((I * ↑↑ℏ) • ∑ j, (𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 j ∘SL 𝐋 i j + (𝐋 i j ∘SL 𝐫₀ ε (-3)) ∘SL 𝐱 j)) = -((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱))d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ -((I * ↑↑ℏ) • ∑ x, (𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐋 i x + (𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i x) ∘SL 𝐱 x)) = -((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ -((I * ↑↑ℏ) • ∑ x, (𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐋 i x + 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐋 i x ∘SL 𝐱 x)) = -((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ -((I * ↑↑ℏ) • ∑ x, 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 x ∘SL 𝐋 i x + 𝐋 i x ∘SL 𝐱 x)) = -((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ -((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL ∑ i_1, (𝐱 i_1 ∘SL 𝐋 i i_1 + 𝐋 i i_1 ∘SL 𝐱 i_1)) = -((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ -((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐋 i x + ∑ x, 𝐋 i x ∘SL 𝐱 x)) = -((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱)) d:ℕε:ℝˣi:Fin d⊢ -((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐋 i x + ∑ x, 𝐋 i x ∘SL 𝐱 x)) = -((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (∑ i_1, 𝐱 i_1 * 𝐋 i i_1 + ∑ i_1, 𝐋 i i_1 * 𝐱 i_1)) All goals completed! 🐙]

⁅𝐇(ε), 𝐀(ε)ᵢ⁆ = iℏk·ε²𝐫(ε)⁻³𝐩ᵢ - 3ℏ²k/2·ε²𝐫(ε)⁻⁵𝐱ᵢ

H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dh:H.m * H.k * (H.m⁻¹ * 2⁻¹) = 2⁻¹ * H.k⊢ ⁅H.hamiltonianRegCLM ε, H.lrlOperator ε i⁆ = (-2⁻¹ * H.k) • (⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i⁆ + ⁅𝐫₀ ε (-1), 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩⁆) H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.dh:H.m * H.k * (H.m⁻¹ * 2⁻¹) = 2⁻¹ * H.k⊢ 2⁻¹ • ((2 * H.m)⁻¹ • 0 - H.k • ⁅𝐫₀ ε (-1), 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩⁆) - (H.m * H.k) • ((2 * H.m)⁻¹ • ⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i⁆ - H.k • ⁅𝐫₀ ε (-1), 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i⁆) = (-2⁻¹ * H.k) • (⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i⁆ + ⁅𝐫₀ ε (-1), 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩⁆) All goals completed! 🐙 simp_rw H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (-2⁻¹ * H.k) • (⁅𝐩 ⬝ᵥ 𝐩, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i⁆ + ⁅𝐫₀ ε (-1), 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩⁆) = (I * ↑↑ℏ * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i - (3 / 2 * ↑ℏ ^ 2 * H.k * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 iH:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (-2⁻¹ * H.k) • ((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱) + ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (3 * ↑ℏ ^ 2 * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i) + ⁅𝐫₀ ε (-1), 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩⁆) = (I * ↑↑ℏ * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i - (3 / 2 * ↑ℏ ^ 2 * H.k * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (-2⁻¹ * H.k) • ((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱) + ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (3 * ↑ℏ ^ 2 * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i) + -((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐋 i + 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐱))) = (I * ↑↑ℏ * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i - (3 / 2 * ↑ℏ ^ 2 * H.k * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (-2⁻¹ * H.k) • ((-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (3 * ↑ℏ ^ 2 * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i) = (I * ↑↑ℏ * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i - (3 / 2 * ↑ℏ ^ 2 * H.k * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (-2⁻¹ * H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (-2⁻¹ * H.k) • (3 * ↑ℏ ^ 2 * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i = (I * ↑↑ℏ * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i - (3 / 2 * ↑ℏ ^ 2 * H.k * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (-2⁻¹ * H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (-2⁻¹ * H.k) • (3 * ↑ℏ ^ 2 * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i = (I * ↑↑ℏ * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + -((3 / 2 * ↑ℏ ^ 2 * H.k * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i) H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (-2⁻¹ * H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (-2⁻¹ * H.k) • (3 * ↑ℏ ^ 2 * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i = (I * ↑↑ℏ * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + -(3 / 2 * ↑ℏ ^ 2 * H.k * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (-2⁻¹ * H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (-2⁻¹ * H.k) • (3 * ↑ℏ ^ 2 * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i = (I * ↑↑ℏ * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (-(3 / 2) * ↑ℏ ^ 2 * H.k * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ ↑(-2⁻¹ * H.k) • (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + ↑(-2⁻¹ * H.k) • ↑(3 * ↑ℏ ^ 2 * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i = (I * ↑↑ℏ * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + ↑(-(3 / 2) * ↑ℏ ^ 2 * H.k * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (↑(-2⁻¹ * H.k) * (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (↑(-2⁻¹ * H.k) * ↑(3 * ↑ℏ ^ 2 * ↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i = (I * ↑↑ℏ * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + ↑(-(3 / 2) * ↑ℏ ^ 2 * H.k * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (↑(-2⁻¹) * ↑H.k * (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (↑(-2⁻¹) * ↑H.k * (↑3 * ↑(↑ℏ ^ 2) * ↑(↑ε ^ 2))) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i = (I * ↑↑ℏ * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (↑(-(3 / 2)) * ↑(↑ℏ ^ 2) * ↑H.k * ↑(↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (-↑2⁻¹ * ↑H.k * (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (-↑2⁻¹ * ↑H.k * (↑3 * ↑(↑ℏ ^ 2) * ↑(↑ε ^ 2))) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i = (I * ↑↑ℏ * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (-↑(3 / 2) * ↑(↑ℏ ^ 2) * ↑H.k * ↑(↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (-(↑2)⁻¹ * ↑H.k * (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (-(↑2)⁻¹ * ↑H.k * (↑3 * ↑(↑ℏ ^ 2) * ↑(↑ε ^ 2))) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i = (I * ↑↑ℏ * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (-↑(3 / 2) * ↑(↑ℏ ^ 2) * ↑H.k * ↑(↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (-(↑2)⁻¹ * ↑H.k * (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (-(↑2)⁻¹ * ↑H.k * (↑3 * ↑(↑ℏ ^ 2) * ↑(↑ε ^ 2))) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i = (I * ↑↑ℏ * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (-(↑3 / ↑2) * ↑(↑ℏ ^ 2) * ↑H.k * ↑(↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (-(↑2)⁻¹ * ↑H.k * (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (-(↑2)⁻¹ * ↑H.k * (↑3 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i = (I * ↑↑ℏ * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (-(↑3 / ↑2) * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d⊢ (-2⁻¹ * ↑H.k * (-2 * I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (-2⁻¹ * ↑H.k * (3 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i = (I * ↑↑ℏ * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐩 i + (-(3 / 2) * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.k * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-5) ∘SL 𝐱 i] All goals completed! 🐙
All goals completed! 🐙All goals completed! 🐙d:ℕ⊢ 2⁻¹ • ∑ i, ∑ j, (𝐋 i j ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 i + 𝐋 j i ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 j) = 0 conv_lhs => d:ℕi:Fin dj:Fin d| 𝐋 i j ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 i + 𝐋 j i ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 j d:ℕi:Fin dj:Fin d| 𝐋 i j ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 j + (-𝐋 i j) ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 j All goals completed! 🐙d:ℕ⊢ 2⁻¹ • ∑ i, ∑ j, (𝐩 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐋 i j + 𝐩 j ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 j i) = 0 conv_lhs => d:ℕi:Fin dj:Fin d| 𝐩 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐋 i j + 𝐩 j ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 j i d:ℕi:Fin dj:Fin d| (𝐩 i ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐋 i j + (𝐩 i ∘SL 𝐩 j) ∘SL (-𝐋 i j) All goals completed! 🐙d:ℕ⊢ 2⁻¹ • ∑ i, ∑ k, ∑ j, (𝐋 i j ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐋 i k + 𝐋 k j ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 k i) = (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋² conv_lhs => d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin d| 𝐋 i k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐋 i j + 𝐋 j k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 j i calc _ = (𝐋 i k ∘L 𝐩 k ∘L 𝐩 j - 𝐋 j k ∘L 𝐩 k ∘L 𝐩 i) ∘L 𝐋 i j := d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ 𝐋 i k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐋 i j + 𝐋 j k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 j i = (𝐋 i k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j - 𝐋 j k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐋 i j All goals completed! 🐙 _ = (𝐱 i ∘L 𝐩 k ∘L 𝐩 k ∘L 𝐩 j - 𝐱 k ∘L 𝐩 i ∘L 𝐩 k ∘L 𝐩 j - (𝐱 j ∘L 𝐩 k ∘L 𝐩 k ∘L 𝐩 i - 𝐱 k ∘L 𝐩 j ∘L 𝐩 k ∘L 𝐩 i)) ∘L 𝐋 i j := d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ (𝐋 i k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j - 𝐋 j k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐋 i j = (𝐱 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j - 𝐱 k ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j - (𝐱 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i - 𝐱 k ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i)) ∘SL 𝐋 i j simp_rw d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ (𝐋 i k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j - 𝐋 j k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐋 i j = (𝐱 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j - 𝐱 k ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j - (𝐱 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i - 𝐱 k ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i)) ∘SL 𝐋 i jd:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ ((𝐱 i ∘SL 𝐩 k - 𝐱 k ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j - (𝐱 j ∘SL 𝐩 k - 𝐱 k ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i) ∘SL (𝐱 i ∘SL 𝐩 j - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i) = (𝐱 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j - 𝐱 k ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j - (𝐱 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i - 𝐱 k ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i)) ∘SL (𝐱 i ∘SL 𝐩 j - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i) d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ ((𝐱 i ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j) ∘SL (𝐱 i ∘SL 𝐩 j - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i) - ((𝐱 k ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j) ∘SL (𝐱 i ∘SL 𝐩 j - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i) - (((𝐱 j ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i) ∘SL (𝐱 i ∘SL 𝐩 j - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i) - ((𝐱 k ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i) ∘SL (𝐱 i ∘SL 𝐩 j - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i)) = (𝐱 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j) ∘SL (𝐱 i ∘SL 𝐩 j - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i) - (𝐱 k ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j) ∘SL (𝐱 i ∘SL 𝐩 j - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i) - ((𝐱 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i) ∘SL (𝐱 i ∘SL 𝐩 j - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i) - (𝐱 k ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i) ∘SL (𝐱 i ∘SL 𝐩 j - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i)) All goals completed! 🐙] _ = (𝐱 i ∘L 𝐩 j ∘L 𝐩 k ∘L 𝐩 k - 𝐱 j ∘L 𝐩 i ∘L 𝐩 k ∘L 𝐩 k) ∘L 𝐋 i j := d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ (𝐱 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j - 𝐱 k ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j - (𝐱 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i - 𝐱 k ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i)) ∘SL 𝐋 i j = (𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i j simp_rw d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ (𝐱 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j - 𝐱 k ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j - (𝐱 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i - 𝐱 k ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i)) ∘SL 𝐋 i j = (𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i jd:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ (𝐱 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 k - 𝐱 k ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 k - (𝐱 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 k - 𝐱 k ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 k)) ∘SL 𝐋 i j = (𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i j d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ (𝐱 i ∘SL (𝐩 k ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐩 k - 𝐱 k ∘SL (𝐩 i ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐩 k - (𝐱 j ∘SL (𝐩 k ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 k - 𝐱 k ∘SL (𝐩 j ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 k)) ∘SL 𝐋 i j = (𝐱 i ∘SL (𝐩 j ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k - 𝐱 j ∘SL (𝐩 i ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i j d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ (𝐱 i ∘SL (𝐩 j ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k - 𝐱 k ∘SL (𝐩 i ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐩 k - (𝐱 j ∘SL (𝐩 i ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k - 𝐱 k ∘SL (𝐩 j ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 k)) ∘SL 𝐋 i j = (𝐱 i ∘SL (𝐩 j ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k - 𝐱 j ∘SL (𝐩 i ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i j d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ (𝐱 i ∘SL (𝐩 j ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k - 𝐱 k ∘SL (𝐩 j ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 k - (𝐱 j ∘SL (𝐩 i ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k - 𝐱 k ∘SL (𝐩 j ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 k)) ∘SL 𝐋 i j = (𝐱 i ∘SL (𝐩 j ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k - 𝐱 j ∘SL (𝐩 i ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i j All goals completed! 🐙] _ = 𝐋 i j ∘L (𝐩 k ∘L 𝐩 k) ∘L 𝐋 i j := d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ (𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i j = 𝐋 i j ∘SL (𝐩 k ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i j simp_rw d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ (𝐱 i ∘SL 𝐩 j ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐩 k ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i j = 𝐋 i j ∘SL (𝐩 k ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i jd:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ (((𝐱 i ∘SL 𝐩 j) ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k - ((𝐱 j ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i j = ((𝐋 i j ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i j d:ℕi:Fin dj:Fin dk:Fin d⊢ (((𝐱 i ∘SL 𝐩 j - 𝐱 j ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i j = ((𝐋 i j ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i j All goals completed! 🐙] d:ℕ⊢ 2⁻¹ • ∑ i, ∑ j, ∑ k, 𝐋 i j ∘SL (𝐩 k ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i j = 2⁻¹ • ∑ i, ∑ j, 𝐋 i j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i jd:ℕ⊢ 2⁻¹ • ∑ i, ∑ j, 𝐋 i j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j = (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋² d:ℕ⊢ 2⁻¹ • ∑ i, ∑ j, ∑ k, 𝐋 i j ∘SL (𝐩 k ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i j = 2⁻¹ • ∑ i, ∑ j, 𝐋 i j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j simp_rw d:ℕ⊢ 2⁻¹ • ∑ i, ∑ j, ∑ k, 𝐋 i j ∘SL (𝐩 k ∘SL 𝐩 k) ∘SL 𝐋 i j = 2⁻¹ • ∑ i, ∑ j, 𝐋 i j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i jd:ℕ⊢ 2⁻¹ • ∑ x, ∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL ∑ i, (𝐩 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐋 x x_1 = 2⁻¹ • ∑ i, ∑ j, 𝐋 i j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j d:ℕ⊢ 2⁻¹ • ∑ x, ∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL (∑ i, 𝐩 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐋 x x_1 = 2⁻¹ • ∑ i, ∑ j, 𝐋 i j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j d:ℕ⊢ 2⁻¹ • ∑ x, ∑ x_1, (𝐋 x x_1 ∘SL ∑ i, 𝐩 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐋 x x_1 = 2⁻¹ • ∑ x, ∑ x_1, (𝐋 x x_1 ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL 𝐋 x x_1 d:ℕ⊢ 2⁻¹ • ∑ x, ∑ x_1, (𝐋 x x_1 ∘SL ∑ i, 𝐩 i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐋 x x_1 = 2⁻¹ • ∑ x, ∑ x_1, (𝐋 x x_1 ∘SL ∑ i, 𝐩 i * 𝐩 i) ∘SL 𝐋 x x_1 All goals completed! 🐙] simp_rw d:ℕ⊢ 2⁻¹ • ∑ i, ∑ j, 𝐋 i j ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 i j = (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋²d:ℕ⊢ 2⁻¹ • ∑ x, ∑ x_1, (𝐋 x x_1 ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩)) ∘SL 𝐋 x x_1 = (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋² d:ℕ⊢ 2⁻¹ • ∑ x, ∑ x_1, ((𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 x x_1) ∘SL 𝐋 x x_1 = (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋² d:ℕ⊢ 2⁻¹ • ∑ x, ∑ x_1, (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 = (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋² d:ℕ⊢ 2⁻¹ • (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL ∑ i, ∑ i_1, 𝐋 i i_1 ∘SL 𝐋 i i_1 = (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋² d:ℕ⊢ (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL (2⁻¹ • ∑ i, ∑ i_1, 𝐋 i i_1 ∘SL 𝐋 i i_1) = (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋² All goals completed! 🐙]All goals completed! 🐙All goals completed! 🐙private lemma sum_prx (d : ℕ) (ε : ℝˣ) : ∑ i, 𝐩 i ∘L 𝐫₀[d] ε (-1) ∘L 𝐱 i = 𝐫₀ ε (-1) ∘L (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) - (I * ℏ * (d - 1)) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ℏ * ε.1 ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) := d:ℕε:ℝˣ⊢ ∑ i, 𝐩 i ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) - (I * ↑↑ℏ * (↑d - 1)) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) calc _ = ∑ i, (𝐫₀ ε (-1) ∘L 𝐩 i ∘L 𝐱 i + (I * ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘L 𝐱 i ∘L 𝐱 i) := d:ℕε:ℝˣ⊢ ∑ i, 𝐩 i ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i = ∑ i, (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐱 i + (I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐱 i) simp_rw d:ℕε:ℝˣ⊢ ∑ i, 𝐩 i ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i = ∑ i, (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐱 i + (I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐱 i)d:ℕε:ℝˣ⊢ ∑ x, (𝐩 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1)) ∘SL 𝐱 x = ∑ x, ((𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 x + (I * ↑↑ℏ) • (𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐱 x) d:ℕε:ℝˣ⊢ ∑ x, (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 x - (↑(-1) * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1 - 2) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐱 x = ∑ x, ((𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 x + (I * ↑↑ℏ) • (𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐱 x)] d:ℕε:ℝˣ⊢ ∑ x, (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 x - (↑(-1) * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐱 x = ∑ x, ((𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐱 x + (I * ↑↑ℏ) • (𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐱 x) All goals completed! 🐙 _ = ∑ i, (𝐫₀ ε (-1) ∘L 𝐱 i ∘L 𝐩 i - (I * ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) + (I * ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘L 𝐱 i ∘L 𝐱 i) := d:ℕε:ℝˣ⊢ ∑ i, (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐱 i + (I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐱 i) = ∑ i, (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) + (I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐱 i) All goals completed! 🐙 _ = 𝐫₀ ε (-1) ∘L ∑ i, 𝐱 i ∘L 𝐩 i + (-d * I * ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) + (I * ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘L ∑ i, 𝐱 i ∘L 𝐱 i := d:ℕε:ℝˣ⊢ ∑ i, (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) + (I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐱 i) = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i + (-↑d * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) + (I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐱 i All goals completed! 🐙 _ = 𝐫₀ ε (-1) ∘L (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) - (I * ℏ * (d - 1)) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ℏ * ε.1 ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) := d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i + (-↑d * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) + (I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐱 i = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) - (I * ↑↑ℏ * (↑d - 1)) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i + (-↑d * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) + ((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-3 + 2) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i - (I * ↑↑ℏ * (↑d - 1)) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i + -(↑d * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) + ((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i - (↑d * I * ↑↑ℏ - I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) simp_rw d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i + -(↑d * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) + ((I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i - (↑d * I * ↑↑ℏ - I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i + -(↑d * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) + (I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i - (↑d * I * ↑↑ℏ - I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i + (-(↑d * I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) + (I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1)) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i - (↑d * I * ↑↑ℏ - I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i + (-(↑d * I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i - (↑d * I * ↑↑ℏ - I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i + (-(↑d * I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) + -((I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i + -((↑d * I * ↑↑ℏ + -(I * ↑↑ℏ)) • 𝐫₀ ε (-1)) + -((I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i + (-(↑d * I * ↑↑ℏ) + I * ↑↑ℏ) • 𝐫₀ ε (-1) + -(I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i + -(↑d * I * ↑↑ℏ + -(I * ↑↑ℏ)) • 𝐫₀ ε (-1) + -(I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)] All goals completed! 🐙d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐩 i = 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩); All goals completed! 🐙private lemma sum_rxrx (d : ℕ) (ε : ℝˣ) : ∑ i, 𝐫₀[d] ε (-1) ∘L 𝐱 i ∘L 𝐫₀ ε (-1) ∘L 𝐱 i = ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) - (ε.1 ^ 2) • 𝐫₀ ε (-2) := d:ℕε:ℝˣ⊢ ∑ i, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i = ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2) simp_rw d:ℕε:ℝˣ⊢ ∑ i, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i = ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i = ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2) d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ x, (𝐱 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1)) ∘SL 𝐱 x = ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2) d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ x, (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐱 x = ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2) d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ x, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐱 x = ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2) d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐱 i = ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2) d:ℕε:ℝˣ⊢ (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐫₀ ε (-1)) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐱 i = ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2) d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1 + -1) ∘SL ∑ i, 𝐱 i ∘SL 𝐱 i = ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2) d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-1 + -1) ∘SL (𝐫₀ ε 2 - ↑ε ^ 2 • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)) = ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)] d:ℕε:ℝˣ⊢ 𝐫₀ ε (-2) ∘SL (𝐫₀ ε 2 - ↑ε ^ 2 • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ)) = ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2) All goals completed! 🐙

The square of the (regularized) LRL vector operator is related to the (regularized) Hamiltonian 𝐇(ε) of the hydrogen atom, square of the angular momentum 𝐋² and powers of 𝐫(ε) as 𝐀(ε)² = 2m·𝐇(ε)(𝐋² + ¼ℏ²(d-1)²) + m²k²(𝟙 - ε²·𝐫(ε)⁻²) - ½(d-1)mkℏ²ε²𝐫(ε)⁻³.

lemma lrlOperatorSqr_eq (ε : ℝˣ) : H.lrlOperator ε ⬝ᵥ H.lrlOperator ε = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε) ∘L (𝐋² + (4⁻¹ * ℏ ^ 2 * (H.d - 1) ^ 2 : ℝ) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) - ε.1 ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) - (2⁻¹ * ℏ^2 * H.m * H.k * (H.d - 1) * ε.1 ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) := H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ H.lrlOperator ε ⬝ᵥ H.lrlOperator ε = (2 * H.m) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL (𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d - 1) ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) - (2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d - 1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) simp_rw H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ H.lrlOperator ε ⬝ᵥ H.lrlOperator ε = (2 * H.m) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL (𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d - 1) ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) - (2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d - 1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ∑ i, H.lrlOperator ε i * H.lrlOperator ε i = (2 * H.m) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL (𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d - 1) ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) - (2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d - 1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ∑ x, H.lrlOperator ε x ∘SL H.lrlOperator ε x = (2 * H.m) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL (𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d - 1) ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) - (2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d - 1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)] conv_lhs => H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d| H.lrlOperator ε i; H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d| 𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩 + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i conv_lhs => H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d| H.lrlOperator ε i; H:HydrogenAtomε:ℝˣi:Fin H.d| 𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i simp_rw H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ∑ i, (𝐋 i ⬝ᵥ 𝐩 + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i) ∘SL (𝐩 ⬝ᵥ 𝐋 i - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 i - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 i) = (2 * H.m) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL (𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d - 1) ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) - (2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d - 1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ∑ x, (∑ i, 𝐋 x i * 𝐩 i + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 x - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL (∑ i, 𝐩 i * 𝐋 x i - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 x - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) = (2 * H.m) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL (𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d - 1) ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) - (2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d - 1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ∑ x, (∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1 + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 x - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL (∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 - (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐩 x - (H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) = (2 * H.m) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL (𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d - 1) ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) - (2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d - 1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ∑ x, (∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1 + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x + -((H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x)) ∘SL (∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + -((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x) + -((H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x)) = (2 * H.m) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL (𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -(↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2))) + -((2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ∑ x, (∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1 + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x + -(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL (∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x + -(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) = (2 * H.m) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL (𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ∑ x, ((∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1) ∘SL (∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x + -(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x) ∘SL (∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x + -(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) + (-(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL (∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x + -(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x)) = (2 * H.m) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL (𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ∑ x, ((∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1) ∘SL ∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + (∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1) ∘SL (-(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x) + (∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1) ∘SL (-(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) + (((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x) ∘SL ∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x) ∘SL (-(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x) + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x) ∘SL (-(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x)) + ((-(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL ∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + (-(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL (-(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x) + (-(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL (-(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x))) = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL 𝐋² + H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL ((4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ))) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ∑ x, ((∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1) ∘SL ∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + (∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1) ∘SL (-(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x) + (∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1) ∘SL (-(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x ∘SL ∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x ∘SL (-(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x) + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x ∘SL (-(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x)) + (-(H.m * H.k) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL ∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + -(H.m * H.k) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL (-(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x) + -(H.m * H.k) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL (-(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x))) = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL 𝐋² + H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL ((4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ))) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ∑ x, ((∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1) ∘SL ∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • (∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1) ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • (∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1) ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x ∘SL ∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(H.m * H.k) • 𝐩 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) + (-(H.m * H.k) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL ∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + -(H.m * H.k) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • -(H.m * H.k) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x)) = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL 𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ∑ x, (∑ i, (𝐋 x i ∘SL 𝐩 i) ∘SL ∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ i, (𝐋 x i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • ∑ i, (𝐋 x i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x ∘SL ∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(H.m * H.k) • 𝐩 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) + (-(H.m * H.k) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL ∑ x_1, 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + -(H.m * H.k) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • -(H.m * H.k) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x)) = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL 𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ∑ x, (∑ x_1, ∑ i, (𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1) ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 x i + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ i, (𝐋 x i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • ∑ i, (𝐋 x i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ i, 𝐩 x ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 x i + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(H.m * H.k) • 𝐩 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) + (-(H.m * H.k) • ∑ i, (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 x i + -(H.m * H.k) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • -(H.m * H.k) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x)) = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL 𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ∑ x, ∑ x_1, ∑ i, (𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1) ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 x i + ∑ x, -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ i, (𝐋 x i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 x + ∑ x, -(H.m * H.k) • ∑ i, (𝐋 x i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x + (∑ x, (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ i, 𝐩 x ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 x i + ∑ x, (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + ∑ x, (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(H.m * H.k) • 𝐩 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) + (∑ x, -(H.m * H.k) • ∑ i, (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 x i + ∑ x, -(H.m * H.k) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 x + ∑ x, -(H.m * H.k) • -(H.m * H.k) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL 𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ∑ x, ∑ x_1, ∑ i, (𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1) ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 x i + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, ∑ i, (𝐋 x i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • ∑ x, ∑ i, (𝐋 x i ∘SL 𝐩 i) ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, ∑ i, 𝐩 x ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 x i + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(H.m * H.k) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) + (-(H.m * H.k) • ∑ x, ∑ i, (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 x i + -(H.m * H.k) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • -(H.m * H.k) • ∑ x, (𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL 𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ ∑ x, ∑ x_1, ∑ x_2, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1 ∘SL 𝐩 x_2 ∘SL 𝐋 x x_2 + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, ∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1 ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • ∑ x, ∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1 ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, ∑ i, 𝐩 x ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 x i + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(H.m * H.k) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) + (-(H.m * H.k) • ∑ x, ∑ x_1, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + -(H.m * H.k) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • -(H.m * H.k) • ∑ x, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL 𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋² + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, ∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1 ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • ∑ x, ∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1 ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, ∑ i, 𝐩 x ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 x i + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(H.m * H.k) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) + (-(H.m * H.k) • ∑ x, ∑ x_1, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + -(H.m * H.k) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • -(H.m * H.k) • ∑ x, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL 𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋² + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 0 + -(H.m * H.k) • ∑ x, ∑ x_1, 𝐋 x x_1 ∘SL 𝐩 x_1 ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, ∑ i, 𝐩 x ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 x i + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(H.m * H.k) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) + (-(H.m * H.k) • ∑ x, ∑ x_1, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + -(H.m * H.k) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • -(H.m * H.k) • ∑ x, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL 𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋² + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 0 + -(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋² + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, ∑ i, 𝐩 x ∘SL 𝐩 i ∘SL 𝐋 x i + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(H.m * H.k) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) + (-(H.m * H.k) • ∑ x, ∑ x_1, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + -(H.m * H.k) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • -(H.m * H.k) • ∑ x, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL 𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋² + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 0 + -(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋² + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 0 + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(H.m * H.k) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) + (-(H.m * H.k) • ∑ x, ∑ x_1, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + -(H.m * H.k) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • -(H.m * H.k) • ∑ x, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL 𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋² + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 0 + -(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋² + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 0 + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(H.m * H.k) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) - (I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3))) + (-(H.m * H.k) • ∑ x, ∑ x_1, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 x_1 ∘SL 𝐋 x x_1 + -(H.m * H.k) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • -(H.m * H.k) • ∑ x, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL 𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋² + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 0 + -(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋² + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 0 + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(H.m * H.k) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) - (I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3))) + (-(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋² + -(H.m * H.k) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐩 x + -(H.m * H.k) • -(H.m * H.k) • ∑ x, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL 𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋² + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 0 + -(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋² + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 0 + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(H.m * H.k) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) - (I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3))) + (-(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋² + -(H.m * H.k) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) + -(H.m * H.k) • -(H.m * H.k) • ∑ x, 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x ∘SL 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐱 x) = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL 𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ (𝐩 ⬝ᵥ 𝐩) ∘SL 𝐋² + -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 0 + -(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋² + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 0 + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • -(H.m * H.k) • (𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) - (I * ↑↑ℏ * (↑H.d - 1)) • 𝐫₀ ε (-1) - (I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3))) + (-(H.m * H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋² + -(H.m * H.k) • -(2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL (𝐱 ⬝ᵥ 𝐩) + -(H.m * H.k) • -(H.m * H.k) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) - ↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2))) = (2 * H.m) • (H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL 𝐋² + (4⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * (↑H.d + -1) ^ 2) • H.hamiltonianRegCLM ε ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ)) + (H.m ^ 2 * H.k ^ 2) • (ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -↑ε ^ 2 • 𝐫₀ ε (-2)) + -(2⁻¹ * ↑ℏ ^ 2 * H.m * H.k * (↑H.d + -1) * ↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3)] H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ (∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐋² + (-↑H.m * ↑H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋² + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1) * (-2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1))) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + ((2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1) * (-↑H.m * ↑H.k)) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1) * (-↑H.m * ↑H.k * (-I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1)))) • 𝐫₀ ε (-1) + (2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1) * (-↑H.m * ↑H.k * (-I * ↑↑ℏ * ↑↑ε ^ 2))) • 𝐫₀ ε (-3))) + ((-↑H.m * ↑H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋² + (-↑H.m * ↑H.k * (-2⁻¹ * I * ↑↑ℏ * (↑H.d + -1))) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x + ((-↑H.m * ↑H.k * (-↑H.m * ↑H.k)) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + (-↑H.m * ↑H.k * (-↑H.m * ↑H.k * -↑↑ε ^ 2)) • 𝐫₀ ε (-2))) = (2 * ↑H.m) • ((2 * ↑H.m)⁻¹ • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + -↑H.k • 𝐫₀ ε (-1)) ∘SL 𝐋² + (2 * ↑H.m * (4⁻¹ * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑(↑H.d + -1) ^ 2)) • ((2 * ↑H.m)⁻¹ • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + -↑H.k • 𝐫₀ ε (-1)) ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + ((↑H.m ^ 2 * ↑H.k ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + (↑H.m ^ 2 * ↑H.k ^ 2 * -↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-2)) + (-2⁻¹ * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.m * ↑H.k * ↑(↑H.d + -1) * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣ⊢ (∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐋² + -(↑H.m * ↑H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋² + ((I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * (-1 / 4) + I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.d * (1 / 2) + I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.d ^ 2 * (-1 / 4)) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + ((↑H.m * ↑H.k * I * ↑↑ℏ * (1 / 2) + ↑H.m * ↑H.k * I * ↑↑ℏ * ↑H.d * (-1 / 2)) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x + (↑H.m * ↑H.k * I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * (1 / 2) - ↑H.m * ↑H.k * I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.d + ↑H.m * ↑H.k * I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.d ^ 2 * (1 / 2)) • 𝐫₀ ε (-1) + (↑H.m * ↑H.k * I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.d * ↑↑ε ^ 2 * (1 / 2) + ↑H.m * ↑H.k * I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑↑ε ^ 2 * (-1 / 2)) • 𝐫₀ ε (-3))) + (-(↑H.m * ↑H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋² + (↑H.m * ↑H.k * I * ↑↑ℏ * (-1 / 2) + ↑H.m * ↑H.k * I * ↑↑ℏ * ↑H.d * (1 / 2)) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x + ((↑H.m ^ 2 * ↑H.k ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -(↑H.m ^ 2 * ↑H.k ^ 2 * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-2))) = (↑H.m * 2) • (((↑H.m)⁻¹ * (1 / 2)) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + -↑H.k • 𝐫₀ ε (-1)) ∘SL 𝐋² + (↑H.m * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑(-1 + ↑H.d) ^ 2 * (1 / 2)) • (((↑H.m)⁻¹ * (1 / 2)) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + -↑H.k • 𝐫₀ ε (-1)) ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + ((↑H.m ^ 2 * ↑H.k ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -(↑H.m ^ 2 * ↑H.k ^ 2 * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-2)) + (↑H.m * ↑H.k * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑↑ε ^ 2 * ↑(-1 + ↑H.d) * (-1 / 2)) • 𝐫₀ ε (-3) H:HydrogenAtomε:ℝˣx✝¹:𝓢(Space H.d, ℂ)x✝:Space H.d⊢ (((∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x) ∘SL 𝐋² + -(↑H.m * ↑H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋² + ((I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * (-1 / 4) + I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.d * (1 / 2) + I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.d ^ 2 * (-1 / 4)) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + ((↑H.m * ↑H.k * I * ↑↑ℏ * (1 / 2) + ↑H.m * ↑H.k * I * ↑↑ℏ * ↑H.d * (-1 / 2)) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x + (↑H.m * ↑H.k * I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * (1 / 2) - ↑H.m * ↑H.k * I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.d + ↑H.m * ↑H.k * I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.d ^ 2 * (1 / 2)) • 𝐫₀ ε (-1) + (↑H.m * ↑H.k * I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.d * ↑↑ε ^ 2 * (1 / 2) + ↑H.m * ↑H.k * I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑↑ε ^ 2 * (-1 / 2)) • 𝐫₀ ε (-3))) + (-(↑H.m * ↑H.k) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL 𝐋² + (↑H.m * ↑H.k * I * ↑↑ℏ * (-1 / 2) + ↑H.m * ↑H.k * I * ↑↑ℏ * ↑H.d * (1 / 2)) • 𝐫₀ ε (-1) ∘SL ∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x + ((↑H.m ^ 2 * ↑H.k ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -(↑H.m ^ 2 * ↑H.k ^ 2 * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-2)))) x✝¹) x✝ = (((↑H.m * 2) • (((↑H.m)⁻¹ * (1 / 2)) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + -↑H.k • 𝐫₀ ε (-1)) ∘SL 𝐋² + (↑H.m * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑(-1 + ↑H.d) ^ 2 * (1 / 2)) • (((↑H.m)⁻¹ * (1 / 2)) • ∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x + -↑H.k • 𝐫₀ ε (-1)) ∘SL ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + ((↑H.m ^ 2 * ↑H.k ^ 2) • ContinuousLinearMap.id ℂ 𝓢(Space H.d, ℂ) + -(↑H.m ^ 2 * ↑H.k ^ 2 * ↑↑ε ^ 2) • 𝐫₀ ε (-2)) + (↑H.m * ↑H.k * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑↑ε ^ 2 * ↑(-1 + ↑H.d) * (-1 / 2)) • 𝐫₀ ε (-3)) x✝¹) x✝ H:HydrogenAtomε:ℝˣx✝¹:𝓢(Space H.d, ℂ)x✝:Space H.d⊢ ((∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x) (𝐋² x✝¹)) x✝ + -(↑H.m * ↑H.k) * ((𝐫₀ ε (-1)) (𝐋² x✝¹)) x✝ + ((I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * (-1 / 4) + I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.d * (1 / 2) + I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.d ^ 2 * (-1 / 4)) * ((∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x) x✝¹) x✝ + ((↑H.m * ↑H.k * I * ↑↑ℏ * (1 / 2) + ↑H.m * ↑H.k * I * ↑↑ℏ * ↑H.d * (-1 / 2)) * ((𝐫₀ ε (-1)) ((∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) x✝¹)) x✝ + (↑H.m * ↑H.k * I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * (1 / 2) - ↑H.m * ↑H.k * I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.d + ↑H.m * ↑H.k * I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.d ^ 2 * (1 / 2)) * ((𝐫₀ ε (-1)) x✝¹) x✝ + (↑H.m * ↑H.k * I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑H.d * ↑↑ε ^ 2 * (1 / 2) + ↑H.m * ↑H.k * I ^ 2 * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑↑ε ^ 2 * (-1 / 2)) * ((𝐫₀ ε (-3)) x✝¹) x✝)) + (-(↑H.m * ↑H.k) * ((𝐫₀ ε (-1)) (𝐋² x✝¹)) x✝ + (↑H.m * ↑H.k * I * ↑↑ℏ * (-1 / 2) + ↑H.m * ↑H.k * I * ↑↑ℏ * ↑H.d * (1 / 2)) * ((𝐫₀ ε (-1)) ((∑ x, 𝐱 x ∘SL 𝐩 x) x✝¹)) x✝ + (↑H.m ^ 2 * ↑H.k ^ 2 * (id x✝¹) x✝ + -(↑H.m ^ 2 * ↑H.k ^ 2 * ↑↑ε ^ 2) * ((𝐫₀ ε (-2)) x✝¹) x✝)) = ↑H.m * 2 * ((↑H.m)⁻¹ * (1 / 2) * ((∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x) (𝐋² x✝¹)) x✝ + -↑H.k * ((𝐫₀ ε (-1)) (𝐋² x✝¹)) x✝) + ↑H.m * ↑↑ℏ ^ 2 * (-1 + ↑H.d) ^ 2 * (1 / 2) * ((↑H.m)⁻¹ * (1 / 2) * ((∑ x, 𝐩 x ∘SL 𝐩 x) (id x✝¹)) x✝ + -↑H.k * ((𝐫₀ ε (-1)) (id x✝¹)) x✝) + (↑H.m ^ 2 * ↑H.k ^ 2 * (id x✝¹) x✝ + -(↑H.m ^ 2 * ↑H.k ^ 2 * ↑↑ε ^ 2) * ((𝐫₀ ε (-2)) x✝¹) x✝) + ↑H.m * ↑H.k * ↑↑ℏ ^ 2 * ↑↑ε ^ 2 * (-1 + ↑H.d) * (-1 / 2) * ((𝐫₀ ε (-3)) x✝¹) x✝ All goals completed! 🐙